Принципы симметрии в физике элементарных частиц - Гибсон У.
Скачать (прямая ссылка):
Мы слегка отклонились от первоначального формализма Жакоба и Вика, применивших поворот R((p, 0, —ф). Преобразования (4.55) интерпретированы нами в активном смысле для образования состояния Фр0Фх из состояния Фооох- Но, задав состояние частицы Фрвфя, можно перейти к системе покоя 2о этой частицы, что сопровождается обращением выражения (4.55). При таком преобразовании X не меняется и поэтому иногда трактуется как z-проекция спина в системе отсчета покоящейся частицы.
В заключение сделаем несколько замечаний относительно спина, которые послужат иллюстрацией к развитому выше формализму. В последующих разделах этот математический аппарат используем для описания процессов рассеяния и распада.
79
Иногда возникает необходимость описать частицу, обладающую определенным собственным значением спина в направлении, отличном от направления движения. В формализме спиральности это, тоже можно сделать путем записи суперпозиции состояний с различной спиральностью.
Рассмотрим частицу со спином 5 = 1/2. Покоящаяся частица имеет два состояния Фо±*д, которые обозначим ф0±.
Спиновые операторы Sx, Sy, Sz в базисе этих состояний даются матрицами Паули
S = На/ 2.
Собственные состояния оператора Sx с собственными значениями ±h/2 даются суперпозициями базисных состояний
2~(ф0+ + фо—).
Рис. 4.1. Определение спиральной системы O'x'y'z' для частицы с импульсом р. Для простоты спиральная система помещена на конец соответствующего вектора импульса
Применив стандартное преобразование спиральности (4.55), получим состояния
2-1/2 (Фр+ ± Фр-), (4-58)
которые можно интерпретировать как состояния частицы, являющиеся собственными состояниями оператора Sx в системе покоя этой частицы. Другими словами, можно считать, что на набор осей х, у и z, связанных с состоянием частицы (оси фиксированы относительно тела), действует сначала оператор буста S5.p, а затем оператор поворота R(<p, 0, 0), после чего получается система осей х', у', z'. Состояния (4.58) — это собственные состояния оператора Sx> (рис. 4.1).
§ 4.5. БЕЗМАССОВЫЕ ЧАСТИЦЫ
Проведенное выше исследование свойств состояний частиц относительно преобразований Лоренца можно легко распространить и на частицы с нулевой массой. Это позволяет понять особенности этого случая.
Во-первых, разница заключается в том, что для безмассовой частицы нет системы покоя; в любой системе отсчета скорость
80
частицы равна с. Следовательно, из всех состояний безмассовой частицы состояние покоя нельзя взять в качестве опорного, как это делали для частицы, обладающей массой. Необходимо выбрать некоторое другое простое состояние, например такое, в котором импульс частицы направлен вдоль оси z и равен по вели-
О
чине значению р. Состояния, в которых импульс направлен по оси z, но имеет другие значения, получаются путем применения
о
к состоянию с импульсом р лоренцева буста. Таким образом,
Фроо = U (2й) ф°00'
Состояние, импульс которого имеет направление (0, ф), получается поворотом
ФР0Ф = U (R (Ф, 0, 0)) U (%) фоооГ (4.59)
в этом случае, чтобы преобразовать четырехмерный импульс
о о
(р, 0, 0, р) в четырехмерный импульс (р, 0, 0, р), надо выбрать соответствующим образом параметр в преобразовании Лоренца
Обратимся теперь к спину. Единственными известными без-массовыми частицами являются фотон и нейтрино. Они несут спиновый момент количества движения. Для нас наиболее важна следующая особенность таких частиц: безмассовая частица спина s имеет вместо ожидаемых 2s +1-состояний только одно или при специальных обстоятельствах два состояния момента количества движения. Чтобы понять причину, зададим вслед за Вигнером вопрос: почему частица с массой имеет 2s +1-состояний момента количества движения?
Ответ на этот вопрос можно найти в последнем разделе. Ло-ренц-инвариантность требует существования физически эквивалентной системы отсчета, в которой частица покоится, а инвариантность относительно вращений в этой системе требует существования 2s +1-состояний (см. гл. 3). Для безмассовой частицы никакой системы покоя нет, поэтому этот аргумент неприменим. Вместо этого начнем с исходного состояния ф°00?_ и охарактеризуем спиновые состояния спиральностью Я, т. е. собственным значением оператора спиральности J • Р/1 Р |.
Тогда состояния, получаемые в результате применения буста % к этому состоянию будут иметь ту же спиральность, а любое состояние, получаемое путем поворота импульса в общее направление, будет по-прежнему иметь то же собственное значение спиральности: ,
Фроох = Ц2?)ф°. ; (4.60)
%mx = U(R(%Q,0))U(^)^m. (4.61)
Таким образом, для безмассовой частицы спиральность является инвариантом относительно преобразований Лоренца, т. е.
