Принципы симметрии в физике элементарных частиц - Гибсон У.
Скачать (прямая ссылка):
LM
Так как / — целое, то мы написали L вместо /. По сути дела (4.82) есть формула для разложения плоской волны в нерелятивистской теории рассеяния, которая обычно записывается в виде математического тождества:
exp (ipr) = 4л ilYlm (0, ф) ]'l Y(0„ фг), (4.83)
где (0, ф) и (0Г, фг) — полярные углы векторов риг соответственно.
Равенство (4.81) отличается от обычного только появлением новой функции и легко доказывается для произвольных
спинов sa и sb¦ Так как спины всех частиц относятся к общей оси z, то в случае двух спиновых частиц уравнение (4.83) должно
86
включать два коэффициента Клебша—Гордана. Чтобы получить состояние с определенным полным моментом количества движения /, эти коэффициенты должны связать спины sa и sb с орбитальным моментом количества движения I.
4.6.3. Нормировка состояний. Из условия нормировки (4.43) для одночастичных состояний следует, что двухчастичные состояния удовлетворяют условию нормировки
(<vw AW = <2я)6 2EfiEb^ (Я* - рJ5<3) X
X (qft — Ч*)бц0».Дл> (4-84)
где
Еа = (р а + тауи; Eb = (р I + тьУ1г.
Двухчастичное состояние удобно описывать с помощью полного четырехмерного импульса Р и относительного трехмерного импульса р, определенных выражениями
= Ран + Pin>' (ma + mb)p = mifia — mapb.
В основном нас интересует с. ц. м., в которой полный трехмерный импульс равен нулю, так что P^=(W, 0). В этом случае значение относительного импульса в с. ц. м. однозначно определяется полной энергией в этой системе, так что полный набор переменных, характеризующих состояние в с. ц. м., состоит из W и двух полярных углов 0, ф, необходимых для определения ориентации вектора относительного импульса.
Можно показать, что в с. ц. м. состояния, определенные выражением
<WA= (2л)-1 (р/Р^Р, ,а. v (4.85)
удовлетворяют следующему условию нормировки:
= ^ (C0s ® C0S X
Хб(ф' —ф)бхЧ . (4.86)
a a b Ь
Параллельно с уравнением (4.85) можно определить собственные состояния момента количества движения двух частиц:
(2 я)”1 (р1^Р,)Ч^Мтг.аН-
Таким образом, формула разложения по парциальным волнам сохраняет свой вид:
®we<tkakb = ^jCj3jJM,xa-xb{^, 0, mwJMKh- (4-87)
С помощью тождеств для Ж-функций можно показать, что стандартная нормировка для собственных состояний момента количества движения
87
wj'M"k\’ > ^wjmx к.) ~ Sj'jSm'm&x’x \’x (4.88)
\ a b a b) a b b b
согласуется с нормировкой (4.86) и разложением (4.87) при условии, что Cj = [(2J + 1)/4л]1/г.
И, наконец, отметим, что условие ортонормированности (3.88а) можно использовать для обращения уравнения (4.87). Умножая обе части на 3)^ х-к (ф. 6. 0) и интегрируя по ф и 0,
' а b
получаем формулу
, 2я я
xirwjMkakb= [(2J + 1)/4л] 2 j dtp j dQ sin 0 Э)м, ka—%b (ф, 0, 0) &we<(}.akb,
о о
(4.89)
которая выражает собственное состояние полного момента количества движения в виде (непрерывной) суперпозиции спиральных плоских волн. Эта оригинальная форма разложения по состояниям с определенным моментом количества движения принадлежит Жакобу и Вику.
§ 4.7. АНАЛИЗ ДВУХЧАСТИЧНОГО РАССЕЯНИЯ В ТЕРМИНАХ ПАРЦИАЛЬНЫХ ВОЛН
В приложении А показано, что дифференциальное сечение в с. ц. м. для бинарной реакции a + b->-c + d между определенными спиральными состояниями задается с помощью матричных элементов оператора перехода ?Г выражением
da/dQ = (8nW)~2 (pcd/pab) | Sfkckd,kakb(W, 0, Ф) |2, (4.90)
где матричный элемент оператора if определяется формулой
“ (2л),6“’(А + р‘~ хла.,.а(Г'8'»1' <4-ш>
В этой формуле начальный и конечный импульсы имеют следующий вид:
Ра* = Ра = —Рб с полярными углами (0, 0);
Vcd — Рс = —Pd с полярными углами (0, ф).
Если вместо этих состояний использовать Ф, заданное формулой (4.85) с более простой нормировкой (4.86), то выражение для дифференциального ссчсния в с. ц. м. приобретает вид
do/dQ= (2п/раЬ)г | (Фц70(рkckd, ^®wookakb) |2- (4.92)
Разложение по парциальным волнам для матричного элемента оператора if проводят путем использования разложения по собственным состояниям момента количества движения (4.87) для начального и конечного состояний:
88
(Фигофя^, S'Owoak^) = S , C'jSJm,b-bd (Ф, e, 0) x X Cj>H>M’'Xa-kb(0, 0, 0) (Wwjmx^j, ЖЧ?wj'M'%a^)-
Как уже было показано в п. 3.3.2, из инвариантности относительно вращений следует, что матричный элемент оператора if в базисе момента количества движения имеет вид
