Принципы симметрии в физике элементарных частиц - Гибсон У.
Скачать (прямая ссылка):
ds2 = (dx0)2 — (dxj)2 — (dx2f — (dx3)2. (4.16)
Так как ds — скаляр Лоренца, то ds имеет одинаковое значение во всех системах отсчета. Поэтому для точек (событий) вдоль мировой линии приращение ds величины s — переменная, которая; их характеризует.
68
Четырехмерная скорость частицы в произвольной точке определяется как отношение приращения координат к приращению s вдоль мировой линии
wv> = dxjds. (4.17)
Поскольку s — скалярная величина, то wц—четырехмерный вектор, подобный dx^. Разделив уравнение (4.16) на ds2, получим, что компоненты удовлетворяют условию
w-w = 1. (4.18)
Обычная скорость v с компонентами dxjdx0, dx2/dx0, dx^/dx0 связана с w соотношением
ш0 = (1—w = v(l—у2)~1/г (4.19)
или
v = и»-1 К, wit w3).
Четырехмерный импульс определяется соотношением
Ри = mw^, (4.20)
где от— лоренцевский скаляр, называемый массой покоя частицы.
В соответствии с условием (4.18) четырехмерный импульс
удовлетворяет соотношению
рг = р-р = т2. (4.21)
Релятивистская энергия Е и трехмерный импульс р входят в виде составных частей в : р^ ~(Е, р). Из соотношения (4.21) получаем хорошо известное соотношение Е2 = р2 + т2. Выражая энергию с помощью трехмерной скорости, получаем
Е = т{\ — v2)-'!’-, р = mv(l — и2)-1^. (4.22)
Как известно, с помощью этих формул можно связать Е и р с соответствующими нерелятивистскими выражениями, положив |v|<C. <С1. Заметим, что скорость v можно выразить с помощью Е и р по формуле
v = р/? = р/р0. (4.23)
В релятивистской механике два отдельных закона сохранения
энергии и трехмерного импульса объединяются в один закон сохранения четырехмерного импульса. Таким образом, для изолированной системы из N частиц имеем
N
J] р\[] = const. (4.24)
г=1
Так же, как в классической механике, этот закон сохранения можно вывести из принципа инвариантности: из инвариантности
относительно смещения начала координат в пространстве и смещения во времени. Важное применение закона сохранения четы-
69
рехмерного импульСа — кинематика рассеяния, процессы реакций и распадов.
Причина возможности чисто классического рассмотрения заключается в том, что в типичном эксперименте, как уже отмечалось выше, частицы, наблюдаемые до и после взаимодействия, являются почти точными собственными состояниями импульса и энергии. Таким образом, кинематическая проблема оказывается эквивалентной классической.
Применение лоренцевой инвариантности к кинематике подробно разобрано в других работах, и мы не будем возвращаться к этому в дальнейшем. Вместо этого обратим внимание на лорен-цеву инвариантность в квантовой механике.
§4.3. ЛОРЕНЦЕВА ИНВАРИАНТНОСТЬ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ. БЕССПИНОВЫЕ ЧАСТИЦЫ
Дадим квантовомеханическое описание процессов, происходящих с элементарными частицами, совместно с принципом лоренцевой инвариантности. До недавнего времени почти универсальным методом для этого являлось использование таких специальных релятивистских волновых уравнений, как уравнение Клейна— Гордона для частиц с нулевым спином или уравнение Дирака для частиц со спином, равным 1/2. Уравнение Дирака описывает только взаимодействие классических элементарных частиц (электрона, протона, нейтрона) друг с другом через электромагнитное поле. Оно является существенной составной частью при более точной трактовке электродинамики. Изучение таких волновых уравнений сохраняет свое значение именно для этих целей.
Однако в последние годы был открыт богатый спектр адронных резонансов с высокими спинами, которые часто желательно рассматривать феноменологически на равных основаниях со стабильными частицами, например ^--гиперон со спином 3/2, стабильный относительно сильных распадов. Метод волновых уравнений для высоких спинов становится громоздким. С другой стороны, в рамках S-матричной формулировки необходимо лишь детальное квантовое описание свободно движущихся частиц. Все это можно полностью вывести из принципов инвариантности, и возникающий в результате формализм, который будет изложен ниже, одинаково хорошо описывает частицы произвольной массы (включая нулевую массу) и произвольного спина.
Этот подход основан на математической статье Вигнера [183], посвященной представлениям неоднородной группы Лоренца (группа смещений в пространстве и времени и преобразований Лоренца). Жакоб и Вик [108] разработали стандартный формализм, придавший строгому и общему анализу Вигнера удобную для практического применения форму. Его часто называют формализмом спиральности. Попытаемся достаточно подробно объяс-
