Принципы симметрии в физике элементарных частиц - Гибсон У.
Скачать (прямая ссылка):
Е’ = (1 — +vps)] )
р[ = Pit P2 = Pi, | (4-16)
р3 = (1 — ууг^(р3 + уЕ). )
В этом случае в системе отсчета 2' вектор состояния будет срЕ'р'-
Учитывая это обстоятельство и руководствуясь активной точ-
кой зрения, получаем, что состояние фе'р—новое состояние системы, отнесенное к исходной системе отсчета 2, а соотношение между ф?р и ф?'Р' есть фе’р’ = U (Л0) ф?р.
Отметим при доказательстве этого результата, что общий случай произвольного преобразования Лоренца так же легко трактовать, как и любой частный. Потребуем выполнения формулы
U (Ay-'P^U (Л) = 2 Л^РУ, (4.33)
V
отражающей тот факт, что четыре оператора Рй преобразуются так же, как и четырехмерный вектор при преобразованиях Лоренца. Уравнение (4.33) справедливо, так как общее преобразование Пуанкаре (4.26) можно получить, выполнив сначала смещение а = а затем преобразование Лоренца A^v:
V
X = 2^(1 (Л )cv^v ~Г Ясг) = -)- У АааХа.
с • v ' а
Отсюда ТаА -- АТа‘, а для операторов
U (a) U (А) = U (A) U (а'). (4.34)
Подставляя U(а) = 1 +ia-P, U(а') = 1 + ia'-P, используя лоренце-ву инвариантность для обозначенного точкой произведения, чтобы записать
а' ¦ Р = (Аа1) (АР) = а-АР,
и сравнивая коэффициенты при а ^ в равенстве (4.34), приходим к (4.33).
С помощью уравнения (4.33) теперь можно показать, что состояние, полученное в результате применения оператора U(А) к ф?р, есть собственное состояние Н и Р с собственными значениями Е' и р', которые связаны с Е и р преобразованием Лоренца
¦A|XV •
Уравнение (4.33) перепишем в виде
/у/(А) = ?/(Л){2Л^|.
73
Применяя его к ф?р, получаем
Р»и (Л) ф?Р = U (Л) | V AnVpv| ф?Р = | 2 AnvPvj ^ (Л) ф?Р, (4.35)
так как число, заключенное в фигурные скобки, можно проком-мутировать с оператором 11(A).
Уравнение (4.35) показывает, что ?/(Л)ф?р является состоянием ф?'Р', для которого (Е\ р') = р' = 2yVvPv Полагая воз-
V
можную нормировочную постоянную равной 1, получаем
U (Л) ф?р = <рЕ'р'. (4.36)
Поскольку Е' и р' связаны с Е и р преобразованием Лоренца
с матрицей A^v, то из свойств преобразования Лоренца следует
?/2_р/2 = ?2_р2 = т2, (437)
где т отождествляется с массой частицы.
Остается согласиться, что т не может иметь значений, равных нулю, иначе бы пришлось обращаться к релятивистскому квантовому описанию безмассовых частиц. Отложим дальнейшее рассмотрение безмассовых частиц до § 4.5.
Если взять множество всех состояний фЕр, для которых Е и р удовлетворяют условию
Е2 — р2 = т2, (4.38)
и считать его множеством базисных состояний, то получим квантовое описание одной частицы с массой т, согласующееся с ло-ренцевой инвариантностью. Ниже покажем, что спин этой частицы равен нулю. Общее состояние частицы описывается, конечно, суперпозицией этих базисных состояний.
То, что предлагаемое описание является инвариантным относительно преобразований Лоренца, видно из следующего. Рассмотрим систему отсчета 2 и состояние системы, которое наблюдатель 2 описывает вектором состояния фЕр. Во второй системе отсчета 2', связанной с первой матрицей преобразования Лоренца Anv , вектор состояния фв'р- будет задаваться выражением (4.36). Если обе системы отсчета полностью эквивалентны, состояние фв-р' должно являться возможным состоянием системы для наблюдателя из первой системы 2. При предложенном описании состояния фЕр для всех Е и р [удовлетворяющих только (4.38)] являются допустимыми. Следовательно, такое состояние существует для системы отсчета 2 и лоренц-инвариантность можно считать доказанной.
С помощью уравнения (4.36) можно связать состояния с разными значениями Е и р (все относительно системы отсчета 2). В частности, можно связать все базисные состояния с фиксированным состоянием, которым может быть состояние покоя с Е = т, р = 0, т. е. фто.
74
Прежде чем проиллюстрировать этот процесс, несколько изменим введенные обозначения. Так как Е выражается через р и т, этот индекс в векторе состояния можно опустить. Далее, в качестве характеристики выделим массу, но в дальнейшем ее тоже опустим. Кроме того, иногда будем выражать вектор импульса в полярных координатах в виде р =(р, 0, ф), т. е. можно будет йисать или фР) или фре<р.
Теперь получим состояние, в котором частица движется вдоль положительного направления оси z с импульсом р, применяя операцию буста к состоянию покоя фооо. Таким образом,
