Принципы симметрии в физике элементарных частиц - Гибсон У.
Скачать (прямая ссылка):
70
нить, как пользоваться этой теорией в некоторых простых случаях. Для более строгого разбора отошлем читателя к другим работам.
Для базиса собственных состояний импульса характерны простые свойства при трансляциях. Рассмотрим сначала соотношения между операциями симметрии: трансляциями во времени и пространстве и преобразованиями Лоренца. Трансляция системы отсчета в пространстве и времени характеризуется четырехмерным вектором смещения %. Ему соответствует преобразование координат
Та]1: х» х'^ = % + <v (4.25)
Таким образом, ао есть смещение начала отсчета координаты времени, в то время как а есть вектор смещения пространства.
Комбинация специального преобразования Лоренца с матрицей Anv и последующее смещение на вектор ац соответствуют преобразованию координат
х = Q-ii -{- 2 A^vxv (4.26)
V
от системы отсчета 2 к системе 2'. Это наиболее общее изменение системы отсчета, по отношению к которому все законы фи-
зики остаются инвариантными. Обозначим преобразование (4.26) символом {а, А}.
Все преобразования (4.26), вместе взятые, образуют группу, которая называется неоднородной группой Лоренца или группой Пуанкаре. Инверсии пространства и времени пока исключены.
Согласно общей теории, каждому преобразованию (4,26) соответствует унитарный оператор, действующий на векторы состояния системы. Обозначим унитарный оператор, соответствующий трансляции ац, символом U(ай), а оператор, соответствующий лоренцеву преобразованию Лцу, символом f/(Anv). Общему преобразованию {а, Л} соответствует оператор
U ({а, А}) = U (a) U (А),
так как операторы U должны перемножаться таким же путем, что и соответствующие преобразования координат, т. е. операторы U образуют представление группы Пуанкаре унитарными операторами.
Рассмотрим трансляции во времени и пространстве U(а^). Ранее были рассмотрены трансляции пространства (см. § 2.3) и смещение во времени (см. § 2.2). Остается только объединить полученные результаты в релятивистской формулировке.
Из преобразования координат (4.25) ясно, что чисто пространственная трансляция на вектор а и чисто временная трансляция на а0 коммутируют друг с другом,-так как они действуют на совершенно разные координаты. Значит, соответствующие унитарные операторы, обозначаемые U(а) и U(a0), тоже коммутируют друг с другом:
71
и (а0) и (а) = и (a) U (а0). (4.27)
Теперь введем генератор инфинитезимальных смещений в пространстве и времени, записав с точностью до первого порядка по
4]i выражение
?/ («!*) = 1 + Ш-Р. (4.28)
Здесь
а-Р — '2gilvallPv = а0Р0 — а-Р. . (4.29)
Сравнивая (4.28) с (2.57) и (2.52), находим, что Р есть оператор импульса, а Ро — гамильтониан или оператор энергии Н. Подставляя (4.28) в (4.27), получаем
(1 + 1а0Я)(1 — ;a0.p) = (l— ia-P)(l +ia0tf).
Таким образом,
ЯР = PH, (4.30)
откуда следует, что гамильтониан и операторы импульса коммутируют друг с другом. Значит, базисные состояния можно выбрать так, чтобы они одновременно были собственными состояниями и энергии, и импульса, Запишем базисные состояния в виде ф?Р, тогда
ЯФ?р = Е(РЕР’ (4.31а)
Рф?р = рф?р- (4-316)
В случае составной системы (например дейтон) операторы Н и Р являются операторами полной энергии и полного импульса,
а Е и р — их собственные значения. При этом состояния можно
характеризовать еще и дополнительными числами, описывающими внутренние свойства системы.
Теперь соотношения (4.31а) н (4.316) верны как для нерелятивистской, так и для релятивистской квантовой теории. Покажем, что если теория инвариантна относительно преобразований Лоренца, то собственные значения Е и р каждого состояния системы должны удовлетворять условию
Е2 — р2 = т2, (4.32)
где т — константа системы, которую в дальнейшем отождествим с массой частицы, для составной же системы она является полной энергией в системе центра масс. Рассмотрим сначала специальный случай стандартного преобразования Лореица (4.1) от системы отсчета 2 к 2':
х' = (1 — v2)-'l--{x0 + vx3\, ^
Xj = хг;
х' = *2;
*з = (l-B!)-l/!te + »o),
(4Ла)
которое обозначим Ло.
72
Теперь рассмотрим состояние системы, вектор фЕр которой соответствует наблюдателю системы отсчета 2. По аналогии с классической свободной частицей можно ожидать, что для наблюдателя в системе отсчета 2' это состояние таково, что его энергия Е' и импульс,/3' преобразуются так же, как и координаты: