Принципы симметрии в физике элементарных частиц - Гибсон У.
Скачать (прямая ссылка):
и, следовательно,
^(3/2, -1/2)= У173(1,2, + 1/2)фЛ1, -1) +
+ У273гЫ1/2,-1/2)ф,(1, 0). (3.104)
Таблица 3.2
Коэффициенты Клебша—Гордана для ja= 1/2, /*= 1
та ть /=3/2 3/2 3/2 3/2 1/2 1/2
т=+3/2 + 1/2 -1/2 ---3/2 + 1/2 -1/2
+ 1/2 + 1 1
+ 1/2 0 (2/3) (1/3)1''2
+ 1/2 ---1 (1/3)1/2 (2/3)
-1/2 + 1 (l/З)1^2 ---(2/3)1!2
-1/2 0 (2/3)1/2 -(1/3)1/г
-1/2 ---1 1
60
И, наконец, для проверки применим оператор /_ еще раз к равенствам (3,103) или (3.104), чтобы получить "ф(3/2,—3/2)=гра (1/2т_ — 1/2)г);й(1, —1). Соответствующие ортогональные комбинации пар состояний к состояниям (3.102) и (3.103) дают состояния с /=1/2:
УЗ ф (1/2, + 1/2) = Т/Гф„ (1/2, + 1/2) ^(1, 0)-
-V2ya( 1/2, -\/2)%(l, + 1); (3.105).
У^(1/2, — 1/2) = 1/2 (1/2, + 1/2) ЫЬ -1)-
— УГ'Фа(1/2, -1/2)гЫ1, 0), (3.106).
дополняющие табл. 3.2.
Результаты расчета можно проверить с помощью соотношений ортогональности (3.94) и (3.93).
Так как [р-(/, m)Y — целое число, даже если j — полуцелое, то коэффициенты КГ являются квадратными корнями из отношений: целых чисел, поэтому иногда табулируют квадраты коэффициентов КГ (см., например, «Обзор свойств частиц»). Здесь же табулирование проводится сначала по т, затем по /, так что не равные нулю элементы располагаются в квадратных блоках ниже диагонали.
Следует отметить, что коэффициенты КГ зависят от порядка,. В котором ja И jb СВЯЗЭНЫ друг С другом. Если ВЗЯТЬ ja= 1 И jb — = 1/2, то некоторые знаки изменятся в процессе тех промежуточных вычислений, которые приведут к уравнениям (3.105) и (3.106).
Можно показать, что в общем случае
CvA=(-1>'"+'*''CCv»'»r <3'105>
3.5.4. Случай /а=/ь = 1/2 или 1. В табл. 3.3. и 3.4 приведены результаты расчетов, аналогичных тем, которые даны в предыдущем примере. В рассматриваемом случае складываются только два одинаковых момента количества движения, равные 1/2 или 1.
Таблица 3.3-
Коэффициенты Клебша—Гордана для ja=jb= 1/2
та тЬ /= 1 1 1 0
т = +1 0 0
+ 1/2 + 1/2 1
+ 1/2 -1/2 (\/2)1!2 (1/2)^2‘
-1/2 + 1/2 (1/2)^2
-1/2 -1/2 1
61
Таблица 3.4
Коэффициенты Клебша—Гордана для ja=h — 1
ma mb /= 2 2 2 2 2
m = +2 + 1 0 ---2
+ 1 + 1 1
-1-1 0 (1/2)1/2
0 +1 (l/2)1/,s
+1 ---1 {i/6)1/2
0 0 (2/3)1/2
---1 +1 (1/6)1/2
0 ---1 (1/2)1/2
---1 0 (1/2)1/2
---.1 ---1 1
Продолжение табл. 3.4
ma mb /=1 1 1 0
+ 1 0 --- 1 0
+ 1 + 1
+ 1 0 (1/2)1'2
0 +1 --- (1/2)1/2
+1 ---1 (1/2)1/2 (1 /3)1/2
0 0 0 -(1/3)1/2
---1 +1 --- (1/2)1/2 (1 /3)1/2
0 ---1 (1/2)1/2
---1 0 --- (1/2)1/2
---1 ---1
В случаях, когда ja = jb, соображения симметрии могут облегчить расчет или послужить проверкой рассмотренного выше мето-.да. Из описанного в п. 3.5.2 метода возникает следующее правило симметрии. Если j = 2ja, то все знаки положительны и, следовательно, "ф (2ja, tri) является симметричной комбинацией компонент векторов состояний и
«62
При переходе к состоянию ф(2/а—1, т) возникают отрицательные знаки [ср. с уравнением (3.101)], и это состояние является антисимметричным по компонентам векторов состояний г))*1* к
4>J2) •
Характер симметрии меняется, когда / пробегает все возможные значения:
четные состояния: 2ja, 2ja—2, 2ja—4, ... нечетные состояния: 2ja—1, 2ja—3, 2ja—5, ...
Это правило проиллюстрировано табл. 3.3 и 3.4. Оно будет особенно полезным тогда, когда мы применим всю алгебру связей к изоспину и при обсуждении распадов мезонов в гл. 8.
Глава 4
ЛОРЕНЦ-ИНВАРИАНТНОСТЬ
Предположим, что читатель уже знаком с основными идеями «специальной теории относительности и с их применением к макроскопическим явлениям. Важное место среди этих идей занимает понятие лоренц-инвариантности, т. е. инвариантности относительно релятивистских преобразований между системами отсчета, двигающимися одна относительно другой равномерно и прямолинейно. Предположим, что основные постулаты теории справедливы и для микроскопических явлений. Причин для изменения этого предположения пока нет.
