Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гибсон У. -> "Принципы симметрии в физике элементарных частиц" -> 33

Принципы симметрии в физике элементарных частиц - Гибсон У.

Гибсон У., Поллард Б. Принципы симметрии в физике элементарных частиц — М.: Атомиздат, 1979. — 342 c.
Скачать (прямая ссылка): principisimmetriivfizike1979.pdf
Предыдущая << 1 .. 27 28 29 30 31 32 < 33 > 34 35 36 37 38 39 .. 149 >> Следующая


Фроо = ^ (Л) Фооо- (4-39)

В качестве А возьмем чистое преобразование Лоренца вдоль оси z. Такое преобразование задается уравнением (4.32), в котором проведена замена (?, р)-+(т, 0) и (Ер')-+(Е, р). Скорость v надо взять равной р/Е. На это преобразование Лоренца мы будем часто ссылаться, имея дело с его следствиями, поэтому обозначим его %v.

Таким образом, уравнение (4.39) принимает вид

Фроо = и (26р) Фооо- (4-40)

Чтобы получить состояние, в котором импульс р имеет направление (0, ф), просто применим обычный поворот к состоянию фроо. Влияние поворота на собственные состояния импульса рассматривалось в п. 3.3.1. Поворот должен переводить вектор импульса, направленный вдоль оси z, в направление (0, ф). В обозначениях углов Эйлера соответствующий поворот есть Я(ц>, 0, 0).

Чистое вращение не меняет р, поэтому

Фр0ф = ?/(Я(ф, 0, 0) фр00 = U (R (Ф) 0, 0))?/(Жр)Фооо. (4.41)

Заметим, что можно взять и другое вращение. Например, вращение ^?(ф, 0, y) с произвольным у привело бы к тому же результату, так как состояние фр0о инвариантно при поворотах вокруг оси z. Однако это уже неверно, когда мы имеем дело с

частицами, обладающими спином.

Покажем, что это описание применимо для бесспиновых частиц. Предположение о том, что мы имеем дело с частицей, спин которой равен нулю, было сделано в тот момент, когда мы стали считать, что покоящаяся частица обладает одним-единственным состоянием фооо. Однако для частицы со спином s существует 2s + 1-состояний покоя, различающихся собственным значением Sz. При поворотах эти состояния преобразуются друг через друга. Для состояния покоя бесспиновой частицы имеем

U (R) Фооо = Фооо (4-42)

для всех R. Описание частицы со спином дано в § 4.4.

Мы еще не проверили, унитарны ли операторы U(Л). Точная форма условия унитарности связана с нормировкой состояний

75
фвр. Множество базисных состояний выберем так, чтобы выполнялись следующие условия ортогональности и нормировки:

(ФР., Фр) = (2л)3 2?рб(3) (р' -р). (4.43)

Здесь для сокращения введено обозначение Ер = (р2 + /п2)1/г. Как и ожидалось, условие нормировки включает б-функцию, так как собственное значение импульса пробегает непрерывную область значений,

В нерелятивистской теории левая часть равенства (4.43) интерпретируется как интеграл по конфигурационному пространству от произведения двух волновых функций (одна из них комплексно сопряженная), являющихся функциями переменных конфигурационного пространства. В рассматриваемом случае такой смысл мы придаем равенству, только если это необходимо, и по-прежнему можно рассматривать такую величину как интеграл перекрытия.

Покажем, что при выполнении условия ортонормированности (4.43) оператор, удовлетворяющий условию (4.36), унитарен. Рассмотрим опять стандартное преобразование Лоренца (4.32), но результат этого рассмотрения справедлив для любого преобразования Лоренца Anv

Возьмем два состояния фр и фЧ. Тогда

U (А) ФР = Фр',' U (А) фч = фч',

где

Pi — Pv Р2 = Pi’ Рз “ А-ззРз Л30?'р; Ер- = А00ЕР -Ь Л03р3

и Л33 = Л00 = (1—v2)“~1/г; А30 = Л03 = и (1—и2)“1/г с аналогичной

системой уравнений для q\

Оператор U (Л) унитарен, если

(U (Л) фЧ) U (Л) фр) = (фч, фр). (4.44)

Левая часть этого уравнения есть просто

(4V, Фр’) = (2л)3 2?'р-б(3) (q' — р');

S(3) (q' - Р') = б (q\ - р[) б (д'2 - р2) б (q'3 - р'3) =

~ ^{Ql Pi) б (^2 Pi) ' б ([?q ?р] Л30 -j- [qz р3] Л33),

причем б-функция в последнем уравнении упрощается, если воспользоваться следующим правилом: пусть f (x) —некая непрерывная функция от х, которая обращается в нуль при х=а: f(a)= 0. Тогда

6 (/ (*)) = I {df/dx)x=a Г1 б (х — а).

Аргумент последней 6-функции обращается в нуль при Рз = <7з и (д/др3) {(Е? — Ер) Л3, + (q3 — р3) Л33) =

= Рз^р Л30 Л33 = Ер'/Ер,

76
так что б-функция принимает вид EpEP'l6(q3—р3). Следовательно,

(Фч', Фр') = (2л)3(2?р')?р?р'16(3> (q —р).

Это выражение равно правой части ра&енства (4.44). Таким образом, оператор U(Л), удовлетворяющий (4.36), унитарен и при условии, что состояния нормированы с помощью (4.43).

Закончим раздел определением нормировки и интегралов перекрытия для произвольного одночастичного состояния. Общее состояние 4F — суперпозиция базисных состояний, его можно записать в виде

? = (2л)-3/* J сРр [(2ЕР)~1^\ а (р) фр. (4.45)

Здесь опять для удобства и упрощения других формул введены множители 2л и 2Ер.
Предыдущая << 1 .. 27 28 29 30 31 32 < 33 > 34 35 36 37 38 39 .. 149 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed