Принципы симметрии в физике элементарных частиц - Гибсон У.
Скачать (прямая ссылка):
3.4.3. Свойства функций й'т,т (р). Протабулируем свойства функций вращения djm,m (|3), которые, как мы уже видели, являются единственными нетривиальными составляющими в определении функций Р> У)- Дополнительные свойства и вывод
приведенных ниже соотношений можно найти в стандартных учебниках по квантовой теории момента количества движения [63, 152].
55
Симметрии:
dk(P)=dU.-i*(P);
= (-1 f-Ыиф);
= (-1
^(я-Р) = (-1)/+'*4.-х(Р);
4и-Р)==<4(Р); dU(n + Р) = (— l)/+tl^-n, я (Р)-
Отметим, что / + ja и ц + к — всегда целые числа.
Специальные значения:
dU( 0) = б^;
4х(я) = (-1/-*'б|Х._х,
4*(-") = (-l)/+4,-M
4ь (2л) = (- 1 f .
Если j = I — целое число, то
dlmo (Р) = (- 1Г [(/ - ш)!/(/ + т) !]* ! Р? (cos р); (3.87а)
dom (Р) = [(/ — пг)!/(/ + m) !]'/а Р? (cos Р); (3.876)
dgo(P) = />,(cosP), (3.87в)
где Pi и Pf —полином Лежандра и присоединенная функция Лежандра соответственно. Из этих формул и выражения (3.15) получим
ZtT К Р, 0) = [4л/(2/ + l)]v- Ylm (Р, а). (3.87г)
Ортогональность и полнота:
] dk (Р) (Р) sin Рф = [2/(2/, + 1)] 8/,/,; (3.88а)
о
2 [(2/ + 1)/2] dU (Р) dU (РО = б (cos Р - cos Р'). (3.886)
/
§ 3.5. ВЕКТОРНОЕ СЛОЖЕНИЕ МОМЕНТОВ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
3.5.1. Коэффициенты Клебша — Гордана. Предположим, чго система состоит из двух частей а и Ь, момент количества движения каждой из которых описывается оператором момента количества движения Ja или J&. Эти части а и Ь могут быть, например, спинами двух частиц или спином и орбитальным моментом количества движения одной частицы. В этих случаях можно считать
(3.84а)
(3.846)
(3.84в)
(3.85а)
(3.856)
(3.85в)
(3.86а)
(3.866)
(3.86в)
(3.86г)
56
моменты количества движения кинематически независимыми. Это выражается равенством
[jfl, -и = о,
означающим, что можно задавать собственные значения J2a и /ог, J2b и Ibz по отдельности. Возможное состояние всей системы, являющееся собственным состоянием этих четырех операторов, в этом случае имеет вид \|эа (/а, та) (jb, ть). Определив полный момент количества движения
J = ia + h, (3.89)
z-компонента которого Jz = + JЬг, увидим, ЧТО l|1a(ja, tna)^b{jb,
ть)—собственное состояние Jz с собственным значением та + ть. Функция 'фа'фь молеет не быть собственной функцией квадрата полного момента количества движения
J2 = (Jfl + j bf = & + Л + 2JJb (3.90)
из-за его последнего члена. В общем случае это состояние будет
линейной комбинацией собственных функций г|э(/, т) для /2 и Iz с разными значениями /, но всегда с одним и тем же значением т = = та + ть. Это выражается формулой
'Фа На, та) Ф» Ub, mb) = 2 G^ (/» (3'91)
И наоборот, вектор состояния i|i(j, т) всей системы, являющийся
собственной функцией J2 и Jz, будет содержать компоненты, для которых та и ть пробегают все пары значений, составляющие в сумме нужное т. Таким образом,
'Ф (/, т) = S С^та!ьть (]а, ГП^ 'Ф* (/*, «**)• (3.92)
т°
Здесь ть полностью определяется т и та, и поэтому отдельного суммирования по пц не требуется. Если предположить, что все волновые функции нормированы и ортогональны, то
2 I G|2= 1 для данных /а> jb, та, ть;
/
2|С|2= 1 для данных ja, jb, /, т.
та
Коэффициент С можно считать интегралом перекрытия в пространстве волновых функций всей системы. Взяв скалярное произведение уравнения (3.91) и функции ф(/, т), получим
GUmahmb = (^ 0- ’М/™ ma)^b(ib, mb)Y
Аналогично
^I ат а) ЬтЪ = (^а (/а> ^aitybQbt ^b)> Ф (/> ^))*
57
Из общего правила
(Фь 'Ь) = ('Фг, ih)*
следует, что G = C*.
Ниже покажем, что С можно сделать действительной величиной. Тогда G = C, и символ G можно вообще опустить. Величины С'Ста 1Ь ть называются коэффициентами Клебша—Гордана (КГ) или коэффициентами векторной связи.
Подставив (3.92) в (3.91) и (3.91) в (3.92), получим два соотношения, которые пригодятся в дальнейшем:
3.5.2. Метод расчета коэффициентов Клебша — Гордана. Покажем, как можно в принципе рассчитать коэффициенты КГ. Это поможет понять их смысл. Для больших значений / это довольно трудоемкий процесс. Однако существуют таблицы коэффициентов КГ, а Вигнером с помощью методов теории групп выведена формула для расчета общего коэффициента КГ.
