Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гибсон У. -> "Принципы симметрии в физике элементарных частиц" -> 23

Принципы симметрии в физике элементарных частиц - Гибсон У.

Гибсон У., Поллард Б. Принципы симметрии в физике элементарных частиц — М.: Атомиздат, 1979. — 342 c.
Скачать (прямая ссылка): principisimmetriivfizike1979.pdf
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 149 >> Следующая


Ф^ = cos (0/2) exp (— !ф/2) ф+ + sin (0/2) exp (1ф/2) ф_; ф]_ = — sin (0/2) exp (— 1ф/2) ф+ + cos (0/2) exp (1ф/2) ф_.

Sz Ф+ = + ^Ф+/2; 52ф_ = — йф_/2.

(3.73),

ули oz, умноженная на (1/2)h. Поэтому можно записать Ф+=

и соотношения (3.73) рассматривать как матричные:
ф+ =

ф_:

(3.74)

(3.75)

В обозначениях векторных столбцов это выглядит так:

cos (0/2) exp (— 1ф/2) sin (0/2) exp Оф/2)

— sin (0/2) exp (— 1ф/2) cos (0/2) ехр(1ф/2)

.Эти выражения есть нормированные собственные функции спина и направлении (0, ф).

Наличие в формулах половинных углов характерно для системы со спином 1/2. Отсюда следует, что если сделать поворот на угол 2я вокруг некоторой оси (например, оси у, что соответствует подстановке 0 = 2л, ф = 0 в приведенных выше формулах), то ф'±= = —ф±. Хотя поворот на угол 2я означает отсутствие каких-либо геометрических изменений, поворот собственных функций со спином 1/2 на 2я приводит к изменению знака. Этот фазовый множитель является общим для обоих спиновых состояний и не приводит ни к каким наблюдаемым следствиям. Обычно поворот на 2л .'никак не фиксируется, и если применить два или несколько поворотов к собственной функции со спином 1/2, то эффективный поворот может в сумме составить более чем 2л радиан, в случае че го вектор состояния изменит знак. Поэтому говорят, что собственные функции для спина 1/2 двузначны. Поворот на угол 4л при этом знака не меняет. Замечания по поводу двузначности применимы ко всем состояниям с полуцелыми /, что следует из вида матрицы поворота Dm'm (а, (5, у). Для полуцелого / зависимость ¦от а и у выражается через а/2 и у/2, a d'm'm (Р) включает в себя нечетные или четные степени cos(р/2) и sin(p/2) в зависимости от того, является ли / полуцелым или целым соответственно.

3.4.2. Теория групп и повороты. Для описания поворотов введем некоторую терминологию из теории групп. Раньше мы определяли поворот углами Эйлера, но здесь лучше использовать 3x3-матрицы коэффициентов, задающих координаты преобразованной точки г' через координаты исходной точки г. Используя (*ь х2, Хз) вместо [х, у, z), получаем *'. = 2 Rijxh где> как обычно, все ин-

/

дексы в суммах пробегают значения от 1 до 3. Стандартный поворот (3.48) обозначается матрицей

cos а —sin а О’

sin a cos а О

О 0 1

Эта матрица ортогональна, т. е. удовлетворяет соотношению

RRT = RTf> = if (3.76)

где RT означает матрицу, транспонированную к матрице R с компонентами (RT)ij=Rji, а 1 означает единичную матрицу б{,-. Отметим также, что определитель R положителен:

. det (/?)---¦ + 1. (3.77)

-52
Из теоремы Эйлера (из механики твердого тела) следует, что любая матрица, удовлетворяющая условиям (3.76) и (3.77), соответствует повороту вокруг некоторой оси па некоторый угол. Уравнение (3.76) означает, что при таком повороте расстояния от начала координат сохраняются и ортогональные направления остаются ортогональными.

Уравнение (3.77) исключает преобразование

- 1 О О'

Р= 0—1 0

0 О — 1_

являющееся операцией пространственной инверсии, и все произведения Р с поворотами. Без потери общности их молено рассмотреть отдельно.

Набор всех ЗхЗ-матриц вращений образует группу вращений. Это доказывается проверкой аксиом § 2.2 для этого случая.

Предположим, что с помощью поворота R мы переводим х в х': x’^^RjiXi, затем вторичным поворотом 5 переводим х' в х":

xk~ • В этом случае результирующее преобразование мож-

/

но записать в виде х’к = ^Тыхи где матрица преобразования име-

i

ет вид

Tkl = IlSkiRil. (3.78)

/

Но Т — ортогональная матрица, если ортогональны R и 5. Действительно, по правилу транспонирования имеем

(SR)T = RTST и Тт Т = (SRf SR = RT ST SR = RT R = 1.

Аналогично 7ТГ=1. Подобным же образом из полезной теоремы

о детерминанте произведения матриц

det (SR) = det (5) • det (R)

следует, что det(7’) = + l.

Таким образом, поворот R и следующий за ним поворот 5 эквивалентны одному-единственному повороту Г, параметры которого можно в принципе получить из параметров поворотов R и 5 с помощью уравнения (3.78). Уравнение (3.76) показывает, что матрица поворота, обратного повороту R, просто задается матрицей RT, так как их произведение есть единичная матрица, соответствующая отсутствию вращения (тождественное преобразование группы вращений).

Согласно § 2.2, унитарные операторы U(R), соответствующие поворотам R, удовлетворяют условию U(S) U(R)=U(T), если SR=T.

Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 149 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed