Принципы симметрии в физике элементарных частиц - Гибсон У.
Скачать (прямая ссылка):
Оператор J'y есть генератор поворотов относительно оси у', получающейся из оси у в результате поворота Za. Таким образом, генератор J'y и остальные компоненты J'z и J'x имеют точно> такие же свойства в штрихованной системе координат 2', какие имели компоненты Jv, Jz и Jx в системе 2. Значит, в частности,
j'y~-U(Za)JyU(Za)+. (3.63),
Это пример преобразования (2.30).
Из формулы (3.63) следует, что
exp (— ip/j,) = exp (— i aJ2) exp (— i pJy) exp (i aJz). (3.64)
Аналогично, так как J"z относится к оси, полученной последовательными поворотами Za и Ур вокруг оси z, имеем
exp (— iy-Zz) = exp (— ip/у) exp (— \aJz) exp (— iy^) X
X exp (i aJz) exp (i PJy). (3.65)
Подставляя (3.65) и (3.64) в (3.62) и еще раз используя выражение (3.64), находим
U (R (а, Р, y)) = exp (— iaJ2) exp (— ф^) exp (— iyJz). (3.66),
Этот простой, но важный результат интерпретируется следующим образом: последовательность поворотов, описанных выше, эквивалентна повороту на угол "у вокруг оси z, следующему за ним на угол р вокруг оси у и затем на угол а вокруг оси z. В этой: последовательности все повороты относятся к осям исходной„ фиксированной в пространстве системы отсчета 2 (х, у, z).
Применим теперь унитарный оператор вращения U(R(a, р, у))> к собственной функции момента количества движения а|з(/, m),.
49»
свойства которой по отношению к операторам Jx, Jv и Jz изучены в §3.2.
Так как г|з(/, т) есть собственное состояние Jz, то имеем
U (R К Р, V)) $ (/, т) = ехР (— i aJz) exp (— i PJy) exp (— \yjz) (j, tn) =
= exp (— iaJz) exp (— /p/y) exp (— imy) \J) (/, tri). (3.67)
Теперь оператор Jy уже не диагонален по отношению к базису ч|) (/, т). Однако отличны от нуля матричные элементы Jy только между состояниями с одним и тем же j, так что в наиболее общем случае ехр(—ip/у) я|э(/, т) есть линейная комбинация состояний г|)(/, т). Коэффициенты этой линейной комбинации обозначим dm'm(Р). Таким образом,
exp (— i $Jy) г|? (/, tn) = ^ ^ 0, m') d'™'™ №)• (3-68)
m'=—/
Коэффициенты здесь записаны так, чтобы подчеркнуть порядок индексов. Комбинируя уравнения (3.67) и (3.68), получаем
U (R (а, р, у)) 1|з (/, т) = ф (j, tn') D{^m (ос, р, у), (3.69)
т' =—/
где
Dm'т. (а, Р, Y) = ехР (— i т'а) d'm’m (Р) ехр (— ту). (3.70)
Эти функции называются D-функциями Вигнера (или спиральными /5-функциями). Для их вычисления удобнее всего использовать методы теории групп. Существуют таблицы этих функций.
Взяв скалярное произведение обеих сторон уравнения (3.69) и состояния г|i(j, т'), получим
(ф(/\ т')% U(R(a, р, 7)Ж/, т)) - Dm]m (а, р, у).
Это соотношение показывает, что D-функции есть матричные элементы оператора вращения относительно базиса я|)(/, т).
Функции й'т'тф)— это матричные элементы оператора exp (—ip/w) в базисе собственных состояний момента количества движения. В § 3.2 показано, что в этом базисе /м имеет чисто мнимые матричные элементы, так что Уу и, следовательно, ехр(—ip/y) имеют чисто вещественные матричные элементы. Для данного / функции dm'm(P) образуют (2/+ 1) X (2/+ 1) матрицу с действительными коэффициентами, являющимися функциями р. Например, для /= 1/2 и /= 1
т = -f- 1 0 —1
— 1
(1 + cosP)/2 —sinP/"l/2 (1—cosP)/2 m' = + 1 dm'm (P) = sin p/l/2 cos p —sin P/l/2 0 (3.72)$
(1—cosP)/2 sinp/y'2 (l+cosP)72_ —1
Чтобы на простом примере проиллюстрировать использование этих величин, рассмотрим преобразование спиновых собственных функций частицы со спином .1/2. Предположим, что частица находится в начале координат, так что нет необходимости рассматривать ее орбитальное движение.
Введем специальные обозначения для спиновых собственных функций, ранее обозначаемых г|з(/, т): <р+=г|з(1/2, +1/2); <р_=-=г|з(1/2, —1/2). Они удовлетворяют соотношениям
Матрица Sz относительно базиса <р± есть просто матрица Па-
уравнения. Общее спиновое состояние частицы с S=l/2 запишем: в виде
Оно называется спинором и является нормированным, если |а|2+
+ Н2=1.
Можно показать, что собственные функции спина, соответствующие одной частице с проекцией опина ±Н/2 на произвольное направление в пространстве, определяемое полярными углами (0, ф), получаются в результате действия на ф± соответствующего оператора поворота U(R). Поворот, который переводит ооь z в направление (0, ф), через углы Эйлера записывается в виде R(ф, 0, 0), а это и есть вращение на угол 0 вокруг оси у и последующий поворот на угол ф вокруг оси z. Можно выбрать и другие, варианты.
Для Я,= ±1/2 теперь имеем
и
Обозначив состояние после поворота ф^ , с помощью явных: формул (3.71) получим
