Принципы симметрии в физике элементарных частиц - Гибсон У.
Скачать (прямая ссылка):
из которых также следует соотношение (3.42).
§ 3.3. ИНВАРИАНТНОСТЬ ОТНОСИТЕЛЬНО ВРАЩЕНИЙ
Рассмотрим теперь связь момента количества движения с инвариантностью относительно вращений. Чтобы правильно сориентироваться, опять начнем со случая из волновой механики.
3.3.1. Операторы конечных поворотов. Рассмотрим поворот по часовой стрелке на угол а относительно оси z. Этот поворот описывается преобразованием координат:
х' = л: cos а — у sin а; ]
у' = х sin а + у cos а; [ (3.44)
z' = 2. J
Обозначим этот поворот Za и будем иногда ссылаться на него как на стандартный.
Поворот в плоскости ху показан на рис. 3.1. При пассивной интерпретации (см. § 2.2) система уравнений (3.44) дает координаты точки Р в новой системе координат. С активной точки зрения уравнения (3.44) дают координаты новой точки Р', полученной из точки Р, но отнесенной к той же самой (нештрихованной) системе координат. При таком активном подходе действие поворота Za на заданную волновую функцию г|)(я, у, z) дает новую волновую функцию ty'(x, у, г), определяемую соотношением
V (х, У, z) = г|з [Z~l (х, у, г)] .
Активный поворот функции я|), определенный таким образом, происходит против часовой стрелки по отношению к осям х, у, г. Вектор, обозначаемый Z~l(x, у, z), имеет компоненты
(х cos а + у sin а, — х sin а + у cos а, г), (3.45)
Рис. 3.1. Определение вращения Za
42
полученные в результате обращения уравнений (3.44) и опускания в них штрихов.
Из общего анализа следует, что функции г|/ и я|) связаны унитарным оператором, зависящим от рассмотренного выше поворота Z а ¦ Обозначим его U(Za ):
Ф' (*, У, г) = U (Za) ф (х, у, г).
Тогда получим соотношение
U (Za) ф (х, у, г) = у (Z~l (х, у, г)), (3.46)
которое определяет U(Zа ).
Перейдем к идентификации генератора поворотов вокруг оси г, считая, что поворот происходит на инфинитезимальный угол ба. Подставив компоненты (3.45) в уравнение (3.46) и разложив его до первого порядка по ба, получим
г|/ (х, у, г) = г|з(я, у, г) + у8adty/dx—хбсtdty/dy. (3.47)
Определим генератор Q уравнением
U (Z6a) = 1 - i баQ/H. (3.48)
Подставляя (3.48) в (3.46) и сравнивая результат с (3.47), находим
Q = — \Н (хд/ду — уд/дх) = Lz.
Теперь уравнение (3.48) принимает вид
U (Z^) = 1 — iSaLzjh. (3.49)
Таким образом, генератор поворота вокруг оси z есть z-компонента момента количества движения. Из аналогичных расчетов следует, что операторы Lx и Lv — генераторы поворотов вокруг осей х и у.
Как и в случае трансляционной инвариантности, оператор1 U(Z а ), соответствующий конечному повороту, можно выразить через соответствующий генератор1.
U (Za) = exp (— i aLzjh). (3.50)
Подобным же образом, если Ур означает поворот на угол ^ вокруг оси у, то
?/(Ур) = ехр(— ip Ly/h).
Аналогичная формула существует и для поворота вокруг оси х.
Можно показать, что поворот на угол со вокруг произвольной
оси, определенной единичным вектором п, представляется оператором
В отличие от трансляций, повороты вокруг разных осей не коммутируют, соответственно в общем случае не коммутируют и представляющие их операторы. Правила перемножения для конечных поворотов, как можно показать, приводят к коммутационным соотношениям (3.9) для генераторов Lx, Lv и Lz (подробнее об этом можно прочесть в книгах по групповой теории момента количества движения).
Для иллюстрации свойств операторов поворота и приведенных выше формул рассмотрим применение оператора U(Za ) к собственному состоянию импульса г|5 = ехр (ipxjh ), соответствующему импульсу р = (р, 0, 0).
С помощью соотношения (3.46) найдем состояние после поворота:
U (Za) я|) = exp [i (рх cos а + ру sin a)/h],
которое, как мы и ожидали, является состоянием с импульсом (р cos а, р sin а, 0).
Для иллюстрации применения операторов поворота покажем, как собственное состояние 2-ком.поненты момента количества движения можно охарактеризовать его свойствами относительно поворотов.
Прежде всего отметим, что если мы перейдем к сферическим координатам (г, 0, ф), то уравнение (3.46) для U(Za ) примет простой вид:
U (za) (г, 9, ф) = г|з (г, 0, ф — а). (3.51)
Пусть теперь г|ы»п (индексом п обозначены другие квантовые числа) есть собственное состояние момента количества движения:
Vnte(r, 0, ф) = Rnlir) Ylm$, ф).
Из вида сферической гармонической функции (в частности, из ее зависимости от ф) следует, что
