Принципы симметрии в физике элементарных частиц - Гибсон У.
Скачать (прямая ссылка):
Следовательно, можно сказать, что множество U{R) образует представление группы вращений унитарными операторами. Эти операторы действуют в гильбертовом пространстве состояний, ко-
51
торое бесконечномерно. Если выбрать полный ортонормированный базис состояний в гильбертовом пространстве, то относительно этого базиса U(R) определяется бесконечной матрицей (как и в случае любого оператора в матричном представлении квантовой механики).
Теперь введем для операторов U (R) понятия инвариантного и1 неприводимого подпространств. Эти общие определения применимы к любой группе.
Может оказаться, что при соответствующем выборе базиса подмножество V базисных функций будет обладать тем свойством, что если оператор произвольного вращения U(R) применить к любой из базисных функций г|э пространства V, то результирующая функция U(R)\|э будет линейной комбинацией базисных функций этого подмножества. Геометрически множество базисных функций V образует подпространство всего гильбертова пространства состояний. При этом только что описанное условие означает, что если U (R) (для любого R) применить к какому-нибудь вектору этого подпространства, то результирующий вектор также будет (целиком) лежать внутри этого подпространства. Такое подпространство называется инвариантным подпространством операторов; U(R) -группы. Посмотрим, можно ли найти еще меньшее подпространство для подпространства V, обладающее теми же свойствами. Если да, то исходное подпространство V называется приводимым. Если нет, то подпространство V называется неприводимым.
Проиллюстрируем эту терминологию с помощью результатов для группы вращений. Предположим, что мы выбрали базис состояний таким, чтобы он был образован собственными состояниями полного момента количества движения и его z-компоненты. Обозначим эти состояния г|э(а, /, ш). Здесь а представляет собой другие числа, характеризующие состояние. Мы уже видели, что* если произвольный поворот применить к г|э(а, /, пг), то результирующее состояние будет линейной комбинацией состояний с теми же значениями а и /:
U (R) г|> (а, /, m) = 2 \|э (а, /,. т') D(j)m (R)• (3.79)
т'
Таким образом, множество (2/+1)-состояний if (а, /, т) г —j образует базис инвариантного подпространства для операторов U(R). Это верно для каждого /. С помощью математического аппарата теории групп можно показать, что такое множество состояний образует базис неприводимого подпространства. Это означает, что нельзя образовать новые комбинации состояний с числом меньшим чем (2/+1), которые при всех поворотах преобразовывались бы только друг через друга.
Для иллюстрации рассмотрим все собственные функции связанных состояний для бесспинового электрона в кулоновском потенциале. Множество всех собственных функций ф(п, t, т) имеет с фиксированным значением п одну и ту же энергию. Множество таких состояний образует инвариантное подпространство для груп-
54
пы вращения, но это подпространство не является неприводимым. С другой стороны, {21+1) -состояние t|3(n, I, т), соответствующее фиксированным значениям пи/, образует базис неприводимого подпространства.
Теперь определим неприводимое представление. Применяя оператор поворота U (R) к каждому элементу базиса г|э(а, /, т) для неприводимого подпространства, получаем такую же матрицу коэффициентов D<Jilm(R), как и в выражении (3.79).
Применив далее к (3.69) вращение S, получим
U (S) U (R) г|> (а, /, т) = U (S) 2 ф (а, /, т') Щ)т (R) =
т'
= %U(S)$ (а, /, т') Djf)m (R) = 2 2 ф (а, /, тГ) Djt)m (5) Щ)т (R),
т' т' т"
(3.80)
где введена матрица D^’m' (5), соответствующая вращению S. Но оператор в левой части уравнения есть просто U(T), где T = SR, а
U (Т) ф (а, /, т) - 2 1? (а, /, m") (Т). (3.81)
т."
Сравнивая два последних уравнения, получаем
D'JJm (Т) = У Dttm- (5) D'JJm (R). (3.82)
m'
Отсюда ясно, что для заданного / матрица, соответствующая произведению двух вращений, равна произведению матриц, соответствующих этим двум вращениям. В связи с этим принято говорить, что матрицы D(m'm (R) образуют представление группы вращений, причем состояния г|э(а, /, т) образуют базис этого представления. Если, как в этом случае, линейная оболочка базиса образует неприводимое подпространство, то представление называется неприводимым.
Если R и 5 — вращения вокруг оси 2, то из (3.70) при р=у=0 следует, что уравнение (3.82) выполняется. Если R и 5 — вращения вокруг оси у на углы |3 и |3' соответственно, то из уравнения (3.82) получаем тождество, которому удовлетворяют матрицы
i
т'т •
dL’m (Р' + Р) - 2 (РО din'n, (Р). (3.83)
т'
