Принципы симметрии в физике элементарных частиц - Гибсон У.
Скачать (прямая ссылка):
Существует два подхода к расчету. Первый заключается в том, что для связи состояний с одинаковыми j и разными т используются операторы сдвига. Напомним, что при рассмотрении момента количества движения одной частицы мы пользовались операторами сдвига /±. В частности, отметим, что
Полный момент количества движения определим формулой
(3.89). Тогда полный оператор сдвига связан с операторами сдвига отдельных частей простым соотношением
Второй подход основан на выборе определенного начального состояния. Рассмотрим состояние г|э (/, т) с наибольшим возможным значением т = та + ть. В этом случае та и ть принимают максимально возможные значения ja и }ь. Для того чтобы это было возможно, j должно равняться /я + /ь. Используя соотношение (3.92), видим, что в этом случае сумма может содержать лишь один член:
Условие нормировки требует, чтобы |С|2=1. Фазу можно выбрать так, чтобы С=1. Тогда
если тп Ф т ;
U / Q *
1, если / =
О, если j ф j'.
(3.93)
•mJbmb ~
(3.94)
J-М т) = Р_(/, «ж/, т— 1);
Р_ (/, т) = П [(/ + m)(j — m+ l)]‘/s .
(3.95)
J— = Jа— Л~ Jb— ¦
(3.96)
"Ф iia j by ia '" I b) 'Фа О'а» /а) ii bi ib)*
(3.98)
58
Теперь применим оператор сдвига (3.96) к обеим частям равенства (3.98). Используя (3.95), которое в этом случае дает
р_(/, /) = (2/),/j;
получаем
(2 (ia + ib)]4, Ф (/„ + ib, ia + l'b ~ 1) = (2/й)'Л (jaf ja) Ф* (jb, 'ib — 1) +
+ (2 iSh Ъа На, ia- 1) % (lb, jb)- (3-99)
Сравнивая это уравнение с уравнением (3.92) для /=/а+/ь, т — =ja + jb—1, находим коэффициенты Клебша—Гордана:
drirr-Г1 = (—-—Y/z; c'a+'b'ix+ib-1 = f —1°—
'«VV6 [ia+lb) • lafa-'-lbh \ ia + ib
Можно доказать, что соотношения (3.94) при этом выполняются.
Рассмотренный процесс можно использовать, чтобы получить весь мультиплет j = ja + jb, оканчивающийся состоянием
Ф (ia + ib, — ia - ib) = Фа (ja, ~ /а) (jb, ~ jb), (3- Ю0)
Как же найти комбинации ч|)иг|)ь, отвечающие условию /=/а + -Ь/ь—1? Уравнение (3 99) определяет одно состояние с m = ja + -\-jb—1, которое выражается линейной комбинацией двух состояний. Поскольку полное число состояний при переходе от схемы нумерации типа (та, ть) к схеме типа (/, т) должно сохраняться, то должна существовать независимая линейная комбинация этих двух состояний, для которой опять m = ja + jb—1.
Рассмотрим выражение
12 (ja + jb)]'12 Ф (jа + ib — 1, ia + jb ~ 1) = (2jaf1 Ь (ja, !а) (jb, jb ~
-1) - (2/„),/2 (ja, ja ~ 1) (jb, jb)- (3-101)
Коэффициенты в правой части равенства и знак гарантируют, что это состояние ортогонально к состоянию (3.99), а коэффициент в левой части обеспечивает нормировку г|).
Не будем доказывать, что для этого состояния в действительности j = ja + jb—1. Применив к нему оператор сдвига получим цепочку состояний с /=/а + /ь—1. Коэффициенты КГ каждого звена этой цепочки можно вычислить.
Выбор отрицательного знака в равенстве (3.101) является условным. Не будем пытаться определить фазовое условие, но отметим, что равенство (3.101) находится в соответствии с фазовыми условиями Кондона и Шортли, которые теперь стали почти универсальными для квантовой теории момента количества движения. Обычно используемый «Обзор свойств частиц» также согласуется с этим условием Кондона и Шортли.
Не будем обсуждать общий случай, когда формулы не поддаются контролю, заметим лишь, что таким путем можно получить собственные функции полного момента количества движения, когда / принимает все значения вплоть до наименьшего, т. е. |/а—/&|.
59
Наконец, заметим, что коэффициенты КГ являются действительными величинами, так как они возникают по существу из матричных элементов р-(/, т) операторов сдвига /а_, /6_ и которые по определению § 3.2 являются тоже действительными.
3.5.3. Случай /о =1/2, /ь= 1. Применим метод к указанному случаю. Полученные коэффициенты КГ' можно свести в квадратную таблицу, каждый столбец которой соответствует паре значений квантовых чисел / и т, а каждая строка — паре значений та и ть. Это показано в табл. 3.2. В этом случае соотношение (3.98) принимает вид
Ф (3/2, +3/2) = гМ1/2, + 1/2) Ы1. + 1),
а (3.99) дает
УЗ ф(3/2, + 1/2) - У2 г|>а(1/2, + 1/2) Ф„ (1,0) +
+ Vl" Фа (1/2, — 1/2) Фй(1, + 1)- (3.102)
Необходимо всегда добавлять к значениям т знак (если они отличны от нуля), который поможет отличать их от j.
Применив оператор /_ = /а_ + /ь_ к уравнению (3.102), получим в правой части в принципе четыре состояния, но /а-ф(1/2,—1/2) = = 0, так что
2 УЗ"ф (3/2, -1/2) = УГ2фв(1/2, — 1/2) 'ф* (1, 0) +
+ уГ2ф„(1/2, + 1/2) Ы1, -1) + УЬ2фа(1/2, 1/2) 'Ф* (1, 0),
(3.103)
