Основные принципы статистической механики - Гиббс Дж.В.
Скачать (прямая ссылка):
гл. XII. О ДВИЖЕНИИ СИСТЕМ И АНСАМБЛЕЙ СИСТЕМ
:>то среднее значение имеет меньшую величину. Мы, вероятно, могли бы непосредственно вывести из соображений, подобных приведенным, что приближение к предельным условиям статистического равновесия, если начальные условия не являются таковыми, представляет собой общее правило. Однако, вопрос ;^тот настолько важен, что представляется желательным подвергнуть его дальнейшему исследованию.
Предположим, что полный фазовый объем для рассматриваемого вида систем разделен на равные элементы DV, которые являются весьма, но не бесконечно, малыми. Представим < ебе ансамбль систем, распределенный в этом объеме способом, описываемым показателем вероятности т), являющимся произвольной функцией фазы, подчиненной только ограничению, выраженному уравнением (46) главы I. Мы предположим, что элементы DV столь малы, что может, вообще говоря, считаться существенно постоянной в любом из них в начальный момент. Пусть траектория системы определена как последовательность фаз, через которые она проходит.
В начальный момент V некоторая система находится в элементе пространства DV\ Позднее, в момент V та же система находится в элементе DV". Другие системы, которые первоначально находились в DV'} в момент tn будут находиться в DV", хотя, вероятно, не все. Системы, находившиеся первоначально в DV', к моменту /" будут занимать фазовый объем точно такой же величины, как вначале. Но этот объем, вероятно, будет распределен между очень большим числом элементов DV, на которые мы разделили полный фазовый объем. Если это не так, то мы можем, вообще говоря, взять более позднее время, при котором это будет иметь место. Исключения будут иметь место для специальных законов движения, и мы ограничиваемся случаем, который вполне можно назвать общим. Лишь очень небольшая часть систем, первоначально находившихся в DV\ окажется к моменту t" в DV"у а системы, находящиеся к этому моменту в DV'\ первоначально были распределены по очень большому числу элементов DV.
Для нашей цели существенно выяснить значение т), показателя фазовой вероятности в элементе DV”, в момент В той части DV", которая занята системами, находившимися в момент ? в DV\ значение т) одинаково с значением его в DV' в момент Г, которое мы назовем tq\ В частях DV", занятых системами, которые при /' находились в элементах, очень близких к DV', мы можем предположить значение т) весьма мало отличным от г/. Мы не можем положить это для частей DV", занятых системами, которые при V находились в элементах, отдаленных от DV'. Нам нужно, еле до-
150 ГЛ. XII. О ДВИЖЕНИИ СИСТЕМ И АНСАМБЛЕЙ СИСТЕМ
вательно, получить некоторое представление о природе фазового объема, занятого при V системами, которые при t" занимают DV". Аналитически эта проблема тождественна с нахождением объема, занятого при V9 системами, которые при
V занимали DV'. Но системы в DV", лежащие на той же траектории, что и первоначально рассмотренная система, очевидно, прибыли в DV" почти в одно и то же время и должны были покинуть DV' почти в одно и то же время, а следовательно, при V они находились в или вблизи DV'. Мы можем, следовательно, принять для этих систем значение т]'. Существенно то же самое справедливо для систем в DV", лежащих на траекториях, очень близких к уже рассмотренной. Однако, для траекторий, проходящих через DV' и DV", но не столь близко к первой траектории, мы не можем положить, что время, требующееся для прохождения от DV' к DV", почти то же, что и для первой траектории. Разность требуемых времен может быть мала в сравнении с ?"—?', но поскольку этот интервал может быть сколь угодно велик, то возможное значение разности времен для различных путей не имеет предела.
Если мы имеем случай статистического равновесия, значение Y) будет постоянным на любом пути, и если все траектории, проходящие через DV"> проходят также через DV' или около него, то значение yj по всему элементу DF" мало отличается от т)'. Но если в рассматриваемом случае статистическое равновесие не имеет места, мы не можем вывести подобного заключения*
Единственный вывод, который мы можем сделать для соответствующей V фазы систем, которые при V находятся в DV'',—это то, что они находятся приблизительно на той же траектории.
Если мы произведем теперь новое определение показателей вероятности фазы в момент ?", пользуясь для этой цели элементами DV, т. е. если мы разделим число систем в DF", например, на полное число систем, а также на фазовый объем элемента, и возьмем логарифм полученного частного, мы получим число, которое меньше среднего значения'/] для систем в DV", соответствующего их распределению по фазам в момент ?'*). Следовательно, среднее значение yj для всего ансамбля систем, соответствующее распределению при Ь", будет меньше, чем среднее значение, соответствующее распределению при t\
Мы не должны забывать, что это общее правило допускает исключения. Такие исключения имеют место в случаях,
*) См. главу XI, теорема IX.
гл. XII. О ДВИЖЕНИИ СИСТЕМ И АНСАМБЛЕЙ СИС1ЕМ
