Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
<а|/?> = ехр {а*Р - *|а|2 - *|/?|2) (10.1.20)
|<a|/J>|2 = exp(-|«-/?l2). (10.1.21)
в) Формула полноты:
1 = ^\d2a\a} <а|. (10.1.22)
Здесь
а = а. + i ау
(10.1.23)
d2a = daxday ,
а интеграл берется по всей комплексной плоскости. Докажем это утверждение. Для произвольного вектора \А) можно написать
|Л> =ХМ„|л>, (10.1.24)
л
так что
1 d2a\ а) <а|/)> = ^ ? f Л„|а> (a\n)d2a . (10.1.25)
Подставим сюда определение (10.1.19) и перейдем к полярным коор-
динатам
а = гёд (10.1.26)
d2a = г dr d0 . (10.1.27)
Тогда
(10.1.25) = ? ]’Л„е_г2г"+т «(«’• w!)-U2jm>r
^ т, л
= Л„е-'2г2"+1(л!ГЧ«>^>
л
где мы использовали
23„,т = (10.1.29)
Замечая теперь, что
J Jr e-'V"+1 = и!/2, (10.1.30)
о
находим
(10.1.25) = 2 Ап\п) = \А) . (10.1.31)
(10.1.28)
454 Глава 10
Формулы (10.1.20, 21) показывают, что когерентные состояния не ортогональны для различных а и /3 и, поскольку перед интегралом в
(10.1.22) стоит множитель 1 /7г, когерентные состояния образуют переполненную систему (фактически из формулы (10.1.19) следует, что для любого г мы можем написать выражение
I л> = ехр (ir2)r~n vnT J d6 t~inb | a) , (10.1.32)
которое указывает на то, что состояния для любого фиксированного г образуют полную систему). Указанная переполненность, однако, не является недостатком благодаря очень простой связи между когерентными состояниями и физикой классических полей, а также благодаря тому, что состояния Баргмана, определяемые равенством
||«> = ехр(*|а|г)|а> = Ё-?=|я>, (10.1.33)
л-о V«'
являются аналитическими функциями а. Это свойство очень важно для последующего изложения.
г) Разложение произвольных состояний по когерентным состояниям
Рассмотрим произвольное состояние I/ >. Используя соотношение полноты (10.1.22), получаем
I/> = ^ J ^2a|«>/(a*)expt- i 1« Г), (10.1.34)
где
/(«*) = <а|/> ехР (i !а!2) = <«!!/> (10.1.35)
является аналитической функцией от а*. При этом условии разложение (10.1.34) единственно. Если допускаются функции, зависящие как от а*, так и от а, то, как показал Глаубер, разложение более не будет единственным.
Нетрудно показать, что скалярное произведение двух состояний !/> и lg> определяется формулой
<?|/ХяП1/> = d2a[g(a*)]*f(a*)e-,al\ (10.1.36)
вследствие которой мы имеем, очевидно, гильбертово пространство аналитических функций. Наличие скалярного произведения служит надежной математической основой для изучения гармонического осциллятора, операторов рождения и уничтожения и всего формализма этой главы.
Кнаи говомоханпчсскис марковские процессы 4.v
д) Разложение оператора по когерентным состояниям
Рассмотрим произвольный оператор Т, действующий в квантовом гильбертовом пространстве. Используя дважды разложение единичного вектора, находим
Т= 1.7М = “2 J dzadzP |«><«] Т\/?></? |
= ^ J dzadzp\d)(Р | Т(а*, /?) ехр( -* |«|:2 - Я 0|*) , (10.1.37)
(10.1.38)
где
Т(а*, Р) = ехр +Ш12К«т?>
= <«11Л!А>,
причем из аналитичности состояний На) и 11/3) мы заключаем, что Т(а*, /3) является аналитической функцией от а* и (3 и при этом условии единственной. Отметим, например, что если
Т = (а+)т(ая),
то
Т(а*, Р) = <« | (а+Т(а") | А) ехр (| |« Г + 11А12)
= (а*)т(Р)"(а\Р) ехр(?|«Г + ЯАГ)
= (а*)т{р)я ехр(а*Р) .
(10.1.39)
(10.1.40)
е) Любой оператор Т определяется своим средним значением во всех когерентных состояниях
Поскольку
<а|7» = S (п\Т\т) е-'"'2 (а*У(аГ/^пШ ,
то
<п\Т\т} = Vnm?i-n~,(^<a\T\a)).
(10.1.41)
Производные здесь формальные, и, как в теории аналитических функций, их нужно интерпретировать следующим образом: а = х + \у
д_
да
IJL--JL
\d.v
А = 1 (± , ¦ 1
да* 2 \9л: 1 ду
(10.1.42)
456 Г; i а на 10
При этом (п\1\т) являются комбинацией коэффициентов разложения по степеням действительных переменных х и у .
ж) Когерентные состояния — собственные состояния оператора а Именно, имеют место равенства
а [ а) = а | а)
и _ (10.1.43)
(а\а+ = (а (а-*
Они доказываются непосредственно, исходя из определения, и являются первоосновой для исследования операторов а и а+ . При оценке матричных элементов удобно использовать нормальные произведения операторов, в которых все операторы уничтожения стоят справа от операторов рождения. Так,
