Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
ад*)] = {?[n(w)-@(x)-VP]uM + <5(w)} 11 dS Ps(x) I , (9.3.55)
S(w)
в которой предполагается, что <5(w) много меньше, чем выражение в квадратных скобках. Здесь u(w) точка, в которой Р^(х) имеет максимальное значение при ограничении плоскостью S(w), a n(w) — нормаль к плоскости S(w).
Предположение III. Не нарушив других предположений, направление n(w) можно выбрать так, чтобы вектор 2Т(х)- n(w) был параллелен касательной к кривой х = u(w) в точке w. Следовательно,
@/T[u(w)]-n(w) = d(w)dwit(w) . (9.3.56)
Бисiабильность, mciастабильпость и проблемы перехода 441
Определим теперь величину
p(w) = I I dSPs(x)\ , (9.3.57)
SM
являющуюся (с точностью до медленно меняющегося множителя) плотностью вероятности нахождения частицы на плоскости S(w). Мы ожидаем, что эта величина имеет двугорбый вид с максимумами в точках w = aviw = cvi минимумом в точке w = b.
Предположение IV. Эти максимумы и минимум предполагаются острыми. Пренебрегая величиной 5(w), делая выбор (9.3.56) и замечая,
что
дЖ*>)-ГР1ФУ1 = dj[u(w)\, (9.3.58)
мы находим
-j Т dw №«»№)]) - Р(щ) - Р{а). (9.3.59)
* а
Благодаря остроте пиков b/?(w)-1, мы можем аппроксимировать выражение (9.3.59), взяв при этом значение подынтегрального выражения в экстремальных точках, используя (9.3.52) и равенство
N(a, t) = M[S(b), t] . (9.3.60)
Определяя также
k(w0) = J [p(w)]~4w (9.3.61)
Kwo) = | [p(w)] ldw , (9.3.62)
*0
получаем следующие релаксационные уравнения:
кК)ВД = Ed(w0)[N0(t)/n0 - Na(t)/na] (9.3.63)
Ми-оЖХО = ed(W0)[N0(t)/n0 - Nc(t)/nc] . (9.3.64)
Эти уравнения имеют точно такой же вид, как и в случае одной переменной, и допускают ту же интерпретацию.
9.3.4. ПРИМЕР. БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ В ПОТЕНЦИАЛЕ С ДВУМЯ ЯМАМИ
Мы рассмотрим броуновское движение в переменных координаты и скорости, изучавшееся в общих чертах в разд. 5.3.6. Запишем уравнение Фоккера — Планка 8P(x,p,t)_ JP , тт,,^дР , Jd_P„p ,
442 Глава 9
В обозначениях предыдущего раздела имеем
х = (х, р)
= (р, -и'(х) - ур)
? = 1
ГО 01 № = п
о у.
Р.{х) = ЛГг ехр {-Ip2- U(x)]
.Жг = (2 л)~1/2^Г,
JTX = { J вЬс ехр f — .
Следовательно, мы можем записать 0 -Г
.1 У.
и поток в стационарном состоянии имеет вид
ГО -Г 1 0.
так что тензор А существует и имеет вид 0 -Г
v(x) =
¦ Р(log Р„)
/„ = -vp, + = -г-
1
о
(9.3.66)
(9.3.67)
(9.3.68)
(9.3.69)
Таким образом, предположение I выполнено.
Плоскость S(w) можно определить с помощью уравнения
Хх + р = w . (9.3.70)
Предположение II требует максимальности Ps(x) на этой плоскости, т. е. максимальности выражения — Zip2 — UQc). Используя стандартные методы, мы находим, что этот максимум должен лежать на кривой m(w), задаваемой следующим образом:
u(w) =
x(wy x(w)
yv --- Xx(w)
(9.3.71)
где *(w) удовлетворяет уравнению
t/'[*(w)] + Л2*М ~ Aw = 0. (9.3.72)
Наличие же острых пиков у Ps(х) зависит от вида потенциала UQc).
Бистабильность, метастабильность и проблемы перехода 443
Обеспечим теперь выполнение предположения III.
Параметр X является функцией от w для специального множества плоскостей, удовлетворяющих условию (9.3.56). Кривая, касательная к u(w), параллельна вектору
dx
dx dX dw ’ dw X dw
Дифференцируя уравнение (9.3.72), имеем
dx
dw
= (U" + Я2Г'
Я - ? (2Я* - w)
dw
(9.3.73)
(9.3.74)
Нормаль к плоскости, определяемой уравнением (9.3.70), параллельна вектору (X, 1). Следовательно,
(9.3.75)
0 1 т Г 1 1
п = (1 + Я2)-‘/2 -1 У, .1, = (1 + Я2)-1'2 1
1
и этот вектор параллелен вектору (9.3.73), если dx
dw
/1
1
.dx d). dw X dw
1(7 - Я).
(9.3.76)
Мы можем теперь решить совместно уравнения (9.3.74, 76) и получить
dx
dw
dl
dw
U"
yX + Я2
[_x(U" + Я2) - (2Я* -U”- Ху + Я2
Lx(U" + Я2) - (2Я* - w)J
(9.3.77)
(9.3.78)
Седловая точка имеет координаты (лг, р) = (0, 0) и, таким образом, w = 0 « х — 0. Используя это в уравнении (9.3.77), мы видим, что должно выполняться соотношение
,v =: wjy при н' ~ 0 . (9.3.79)
Вблизи точки х = 0 мы можем приближенно записать
U[x] ~ -\игхг. (9.3.80)