Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гардинер К.В. -> "Стохастические методы в естественных науках" -> 153

Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.

Гардинер К.В. Стохастические методы в естественных науках — М.: Мир, 1986. — 538 c.
Скачать (прямая ссылка): stahonicheskiemetodivestestvennaukah1986.pdf
Предыдущая << 1 .. 147 148 149 150 151 152 < 153 > 154 155 156 157 158 159 .. 185 >> Следующая


ад*)] = {?[n(w)-@(x)-VP]uM + <5(w)} 11 dS Ps(x) I , (9.3.55)

S(w)

в которой предполагается, что <5(w) много меньше, чем выражение в квадратных скобках. Здесь u(w) точка, в которой Р^(х) имеет максимальное значение при ограничении плоскостью S(w), a n(w) — нормаль к плоскости S(w).

Предположение III. Не нарушив других предположений, направление n(w) можно выбрать так, чтобы вектор 2Т(х)- n(w) был параллелен касательной к кривой х = u(w) в точке w. Следовательно,

@/T[u(w)]-n(w) = d(w)dwit(w) . (9.3.56)
Бисiабильность, mciастабильпость и проблемы перехода 441

Определим теперь величину

p(w) = I I dSPs(x)\ , (9.3.57)

SM

являющуюся (с точностью до медленно меняющегося множителя) плотностью вероятности нахождения частицы на плоскости S(w). Мы ожидаем, что эта величина имеет двугорбый вид с максимумами в точках w = aviw = cvi минимумом в точке w = b.

Предположение IV. Эти максимумы и минимум предполагаются острыми. Пренебрегая величиной 5(w), делая выбор (9.3.56) и замечая,

что

дЖ*>)-ГР1ФУ1 = dj[u(w)\, (9.3.58)

мы находим

-j Т dw №«»№)]) - Р(щ) - Р{а). (9.3.59)

* а

Благодаря остроте пиков b/?(w)-1, мы можем аппроксимировать выражение (9.3.59), взяв при этом значение подынтегрального выражения в экстремальных точках, используя (9.3.52) и равенство

N(a, t) = M[S(b), t] . (9.3.60)

Определяя также

k(w0) = J [p(w)]~4w (9.3.61)

Kwo) = | [p(w)] ldw , (9.3.62)

*0

получаем следующие релаксационные уравнения:

кК)ВД = Ed(w0)[N0(t)/n0 - Na(t)/na] (9.3.63)

Ми-оЖХО = ed(W0)[N0(t)/n0 - Nc(t)/nc] . (9.3.64)

Эти уравнения имеют точно такой же вид, как и в случае одной переменной, и допускают ту же интерпретацию.

9.3.4. ПРИМЕР. БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ В ПОТЕНЦИАЛЕ С ДВУМЯ ЯМАМИ

Мы рассмотрим броуновское движение в переменных координаты и скорости, изучавшееся в общих чертах в разд. 5.3.6. Запишем уравнение Фоккера — Планка 8P(x,p,t)_ JP , тт,,^дР , Jd_P„p ,
442 Глава 9

В обозначениях предыдущего раздела имеем

х = (х, р)

= (р, -и'(х) - ур)

? = 1

ГО 01 № = п

о у.

Р.{х) = ЛГг ехр {-Ip2- U(x)]

.Жг = (2 л)~1/2^Г,

JTX = { J вЬс ехр f — .

Следовательно, мы можем записать 0 -Г

.1 У.

и поток в стационарном состоянии имеет вид

ГО -Г 1 0.

так что тензор А существует и имеет вид 0 -Г

v(x) =

¦ Р(log Р„)

/„ = -vp, + = -г-

1

о

(9.3.66)

(9.3.67)

(9.3.68)

(9.3.69)

Таким образом, предположение I выполнено.

Плоскость S(w) можно определить с помощью уравнения

Хх + р = w . (9.3.70)

Предположение II требует максимальности Ps(x) на этой плоскости, т. е. максимальности выражения — Zip2 — UQc). Используя стандартные методы, мы находим, что этот максимум должен лежать на кривой m(w), задаваемой следующим образом:

u(w) =

x(wy x(w)
yv --- Xx(w)
(9.3.71)

где *(w) удовлетворяет уравнению

t/'[*(w)] + Л2*М ~ Aw = 0. (9.3.72)

Наличие же острых пиков у Ps(х) зависит от вида потенциала UQc).
Бистабильность, метастабильность и проблемы перехода 443

Обеспечим теперь выполнение предположения III.

Параметр X является функцией от w для специального множества плоскостей, удовлетворяющих условию (9.3.56). Кривая, касательная к u(w), параллельна вектору

dx

dx dX dw ’ dw X dw

Дифференцируя уравнение (9.3.72), имеем

dx

dw

= (U" + Я2Г'

Я - ? (2Я* - w)

dw

(9.3.73)

(9.3.74)

Нормаль к плоскости, определяемой уравнением (9.3.70), параллельна вектору (X, 1). Следовательно,

(9.3.75)

0 1 т Г 1 1
п = (1 + Я2)-‘/2 -1 У, .1, = (1 + Я2)-1'2 1
1
и этот вектор параллелен вектору (9.3.73), если dx

dw

/1

1

.dx d). dw X dw

1(7 - Я).

(9.3.76)

Мы можем теперь решить совместно уравнения (9.3.74, 76) и получить

dx

dw

dl

dw

U"

yX + Я2

[_x(U" + Я2) - (2Я* -U”- Ху + Я2

Lx(U" + Я2) - (2Я* - w)J

(9.3.77)

(9.3.78)

Седловая точка имеет координаты (лг, р) = (0, 0) и, таким образом, w = 0 « х — 0. Используя это в уравнении (9.3.77), мы видим, что должно выполняться соотношение

,v =: wjy при н' ~ 0 . (9.3.79)

Вблизи точки х = 0 мы можем приближенно записать

U[x] ~ -\игхг. (9.3.80)
Предыдущая << 1 .. 147 148 149 150 151 152 < 153 > 154 155 156 157 158 159 .. 185 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed