Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
Выполняя подстановку Р —'- рТ1п
(9.3.106)
х — хТ112,
Бистабильность, метастабильность и проблемы перехода 447
получаем dx — р dt
dp = ~[ур + V\x, Т)\ + V2у d\V(t), где
У(х, Т) = U{xTin).
Численное моделирование выполнялось для потенциала
щх) = к*2 - о2;
(9.3.107)
(9.3.108)
(9.3.109)
результаты показаны на рис. 9.4. Они делятся естественным образом на два множества: кривые и прямые линии. Наилучшим результа-
те. 9.4. Сравнение различных оценок среднего времени достижения границы в случае потенциала с двумя потенциальными ямами (разд. 9.3.4): / — одномерное приближение: 2 — теория Крамерса; 3 — наша теория; 4 — среднее значение из 300 машинных экспериментов; 5 — уточненный результат Смолуховского.
448 Глава 9
том является уточненный результат Смолуховского, который совпадает при всех температурах с численными результатами, а при низких температурах совпадает с результатом, полученным нашим методом. Таким образом, подтверждается справедливость этого метода в ожидаемой области его применимости, поскольку низкие температуры соответствуют распределениям с острыми пиками.
Заметим также, что выбор плоскости 50 в качестве сепаратрисы имеет и другое обоснование. В самом деле, вблизи точки х = О, р = О, мы можем записать
dx = pdt (9.3.110)
dp = (~ур + U2x)dt + ^/2fT dW(t). (9.3.111)
Условием того, что детерминированная часть вектора (dx/dt, dp/dt),
а именно вектор (р, — ур + U2x), направлена из точки (х, р) в начало
координат, является
Р Х (9.3.112)
— ур т игх р Полагая р = — Хх, находим
;.2 - ).у - иг = о, (9.3.113)
что совпадает с уравнением (9.3.81) вблизи точки х = 0. Два решё'ния этого уравнения соответствуют детерминированному движению, направленному к началу координат (корень со знаком «+») и от начала координат (корень со знаком « — »).
Таким образом, когда частица находится на сепаратрисе, за последующий временной интервал dt только случайный член dW(t) может увести ее с сепаратрисы, причем частица может уйти вправо или влево от сепаратрисы с равной вероятностью. Это означает, что отношение расщепленных вероятностей выхода влево или вправо на плоскости будет 1:1.
Это определение сепаратрисы согласуется также с определениями, данными в разд. 9.1 и 9.2, в которых считается, что вектор у(х) должен быть перпендикулярен нормали поверхности 5.
10
Квантовомеханические марковские процессы
Квантовая механика со времени своего основания в 20-е годы была признана как такое описание мира, в основе которого лежит существенно статистический аспект. Следовательно, все, что описывает квантовая механика, следует рассматривать как некоторого рода стохастический процесс. Однако только квантовой механике свойственно описание посредством комплексных амплитуд вероятности, квадрат модуля которых дает действительную вероятность осуществления какого-либо события.
В настоящей главе мы не собираемся давать формулировку подходящей квантовомеханической теории вероятностей или в терминах соответствующим образом определенного стохастического процесса в этой обобщенной теории вероятностей формулировать квантовую механику. Что для нас действительно представляет интерес, так это ввести читателя в завораживающий мир на границе квантовой и классической теорий вероятностей — царство квантовой оптики и квантовой электроники. Статистические аспекты в нем возникают из-за внутренней квантовой природы системы, так же как флуктуации возникают из-за тепловых эффектов. Мы покажем, как квантовомеханическую теорию оптических систем можно тесно связать с марковскими скачкообразными процессами в соответствующей обобщенной форме. Эти процессы сами часто могут быть связаны с диффузионными процессами на комплексной плоскости посредством так называемых Р-представлений, или методов фазового пространства. Эти диффузионные процессы можно охарактеризовать квазивероятносгями, которые могут быть отрицательными или комплексными, или эти процессы могут определять подлинные положительные вероятности. Ситуация здесь очень похожа на ситуацию в разд. 7.7, возникающую при переходе в представление Пуассона, которое фактически есть частный случай Р-предстабления.
Мы построим эту главу следующим образом. Сначала набросаем в общих чертах квантовомеханическую теорию гармонического осциллятора и введем центральное для нас понятие когерентных состояний. Затем определим квантовый марковский процесс и покажем, как с по-
450 Глава 10
мощью метода, подобного методам адиабатического исключения гл. 6, можно вывести для этого процесса обобщенное управляющее уравнение. Из таких управляющих уравнений мы можем вывести иногда обычные управляющие уравнения для процессов рождения — гибели, а иногда, используя P-представления, уравнения Фоккера — Планка. Оба метода позволяют нам применять к этим квантовомеханическим системам весь аппарат классических стохастических процессов.
