Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
(9.3.11)
где
Н = Pz(a) ¦ Vz(a).
Мы можем теперь решить это уравнение к получить
(9.3.12)
Z/V ?
л{Ь, х) = J ехр (^2/2Я) + п(Ь, а).
(9.3.13)
о
ж(Ь, х) = ж(Ь, а).
(9.3.14)
v(x) ¦ Vf(x) + sP2f(x) = 0,
где
/(и) = g(u) (и е 5)
(9.3.15)
Бистабильность, метасгабильность и проблемы перехода 435
нием. Следовательно, функция/(х) должна претерпевать быстрые изменения вблизи границы.
Вблизи точки и на границе 5 мы можем записать
v(u) • Vf(x) + cV2f(x) — 0 (9.3.16)
Вблизи границы 5 наиболее удобно ввести нормаль р(и) к границе 5 — р(и) (направленную наружу) и определить переменную р равенством
х = и — epv(u). (9.3.17)
При этом остальные переменные уг направлены параллельно 5.
Тогда в низшем порядке по е уравнение (9.3.16) (в окрестности точки и на границе 5) сводится к уравнению
[V • «(«)] д? + Щи) |? = 0. (9.3.18)
где
Я(и) = ?2=1. (9.3.19)
Его решение имеет вид f(x) = g(u) + С,(и) {1 - ехр [-v-v{u)p]) . (9.3.20)
При р — оо мы заходим на конечное расстояние внутрь области R и при этом
/(*) - ?(«) + СМ = С0. (9.3.21)
Эта величина не зависит от jc в силу (9.3.14). Итак,
С,(«) = С0 - g(u). (9.3.22)
Теперь нужно определить значение С0, являющееся по существу главной величиной, которую мы ищем.
Это можно сделать с помощью теоремы Грина. Пусть ps(x) является обычным стационарным решением прямого уравнения Фоккера — Планка. Мы знаем, что его можно записать в виде
ps(x) = ехр
--J-[<*(*)+ 0(e)
(9.3.23)
как это было показано в разд. 6.3.3. Возьмем теперь уравнение
(9.3.16), умножим его на Ps(x) и проинтегрируем по всей области R. Используя то, что р^(х) удовлетворяет прямому уравнению Фокке-
436 Глава ^
ра — Планка, исходное уравнение можно свести к поверхностному интегралу
О = | dx p{x)[v(x)-Vf(x) + ry'-f(x)]
R
= J dS [p,(x)v-v(x)f(x) + i:[ps(x)v-Ff(x) - f(x)v-Pps(x)]} .
с
-v-v(x)[C0 ...g(x)];
Замечая, что в низшем порядке по е
v-VPJ,x) -- -v-V<p(x) ехр [ ф(х)!г\ , получаем
Со
| dSe t(x),e[2v-v{x) + v-V<j>(x)\g(x)
S_______________________________________________
J dS e^!*<j:)/? v • v(x)
(9.3.24)
(9.3.25)
(9.3.26)
(9.3.27)
(9.3.28)
Вспоминая, что для рассматриваемой задачи g{u) = 6s(u — b), в случае когда точка х находится внутри области R, имеем
п(х, Ъ) = С0
е-ф(Ь)/е [2v-У(Ь) + у-Уф{Ъ)} | dS e~^(xh'? v-v(x)
(9.3.29)
Из этого выражения следует, что распределение точек достижения границы по существу имеет вид ехр[ — ф(Ь)/е], т. е. приблизительно совпадает со стационарным распределением. Если уравнение Фоккера — Планка допускает потенциальное решение, то
v(b) = —7ф(Ь) (9.3.30)
л(х, Ь) = е~?*<А,/г v-u(A)/[| dS е ?'x,/s v-yfc)^ и мы имеем просто результат типа среднего потока.
2) w ¦ v (х) = 0 на границе S. Эта задача имеет более непосредственную связь с бистабильностью, поскольку можно ожидать, что на полпути между двумя устойчивыми точками а и с находится кривая wv(x) = = 0, которая разделяет две области и называется сепаратрисой.
Мы применяем в основном тот же метод, за исключением того, что вблизи точки и на границе S теперь ожидаем выполнения формулы
v • v(x) ~ v • (х — и)к(и), (9.3.31)
Бистабильность, метастабильность и проблемы перехода 437
где к (и) — коэффициент, зависящий от v (jc), который предполагается отличным от нуля.
Мы имеем теперь вблизи S такую же ситуацию, как и при х = а. С помощью соответствующей подстановки
Х = U -w pv(u) (9.3.32)
уравнение (9.3.16) в низшем порядке по е (в окрестности точки и на
границе S) сведется к уравнению
'tW<’! + 3/ = 0’ <9-3-33>
так что
f(x) = g(u) + С, I dp ехр [-\к{и)р2]. (9.3.34)
О
Устремляя р — оо, мы получаем
Ci = [Со - ?(«)] ¦ (9.3.35)
Дальнейший расчет такой же, как и в предыдущем пункте. Окончательно получаем
?-ф(Ь)/е f1 +jlK^y-v{b) + v-F^(A)]
---(~ L\
7T^X, 0) J dS J'2-& v¦ vix)
(9.3.36)
9.3.2. АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СРЕДНЕГО ВРЕМЕНИ ДОСТИЖЕНИЯ ГРАНИЦЫ
Из нашего опыта обращения с одномерными системами можно ожидать, что среднее время достижения границы из точки внутри области R будет иметь порядок ехр(ЛУе) для некоторого К > О при с — 0. Поэтому введем функцию
