Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
Tix) = cxpi-K/E)Tix), (9.3.37)
где Т(х) среднее время достижения границы области R из точки х, а величина т(х) удовлетворяет уравнениям (см. разд. 5.4)
vix) ¦ Ft(x) + ?F2t(x) = ~z~K,z xiu) = 0 и e S .
(9.3.38)
438 Глава 9
Если множитель ехр(-ЛУе) выбран правильно, то любое разложение т(дс) по степеням в не будет содержать экспонент, так что уравнение для г (дс) в низшем порядке по е по существу будет совпадать с уравнением (9.3.16).
Как и в предыдущем случае, мы покажем, что величина т(дс) по существу постоянна внутри области R и (в случае v ¦ v (дс) Ф 0 на границе
5) ее можно записать в виде
Ф) ~ С0 {1 - ехр [-v ¦ v(u)p}} (9.3.39)
вблизи границы S.
Умножим уравнение (9.3.38) на ps(x) = ехр[ — ф(х)/е] и, используя теорему Грина (в основном тем же образом, что и при выводе выражения (9.3.25), но при т(д:) — 0 на границе 5), получим
—е~г/? J dx = - fdS [C0v• i>(jc)] , (9.3.40)
R S
т. e.
C„ = J dx t~lK^x)Vsll dS v-v(x) . (9.3.41)
R S
Согласно нашей гипотезе, C0 не меняется экспоненциально подобно ехр04/е). В числителе выражения (9.3.41) основной вклад в интеграл дает минимум функции ф (дс), находящийся в точке а, тогда как в знаменателе — минимум этой функции в точке границы S; эту точку мы обозначим дс0. Таким образом, отношение ведет себя как
ехр {[ф(а) - ф(х0) - К]/е} .
и, следовательно, для того чтобы величина С0 была асимптотически постоянной, нужно положить
К = ф(а) — ф(х0), (9.3.42)
Для точки д:, лежащей внутри области R на значительном расстоянии от границы, имеем
т(х) = J dxe^w/s/f dS [е &х)/‘ v-v(x)].
(9.3.43)
В случае когда r-v(x) = 0 во всех точках границы S, мы получаем
ФО ~ С0 f dp ехр [-\к(и)р2], (9.3.44)
о
и, следовательно, во внутренней области справедлива оценка
Бистабильность, метастабильность и проблемы перехода 439
Дальнейший анализ можно провести аналогично предыдущему, и для точки х внутри области R на значительном расстоянии от границы получим
(9.3.46)
9.3.3. МЕТОД КРАМЕРСА ДЛЯ СЛУЧАЯ НЕСКОЛЬКИХ ИЗМЕРЕНИЙ
Обобщение метода Крамерса делается относительно просто. Рассмотрим довольно общее уравнение Фоккера — Планка для случая / измерений (используя обозначение Р(х) для плотности вероятности)
д,Р = r.[-v(x)P + eD(x)-VP]. (9.3.47)
Стационарное решение этого уравнения Ps(х) можно записать в явном виде только в том случае, когда для уравнения (9.3.47) выполняются условия потенциальности. Предположим, что функция Р^(х) имеет два хорошо очерченных максимума в точках а и с и ясно выраженную сед-ловую точку в b (рис. 9.3). Будем считать, что значение этой функции в седловой точке намного меньше, чем ее значения в точках а и с. Введем семейство (/ — 1)-мерных плоскостей S(w), где w — параметр, нумерующий плоскости. Мы выберем плоскость 5(a), так, чтобы она проходила через точку a, S(b) — через Ъ и 5(c) — через с. Предполагается, что плоскости 5(w) ориентированы таким образом, что Ps(х) имеет единственный максимум внутри каждой из этих плоскостей. Аналогично тому, как это сделано в разд. 9.2.1, определим
M[S(w)] = J dx Р(х), (9.3.48)
Рис. 9.3. Контуры (линии равной вероятности) стационарной функции распределения Я(х). Плоскость S(u) ориентирована так, что Р {дг) имеет на ней единственный максимум, а кривая х = u(w) (штриховая линия) является геометрическим местом точек этих максимумов.
440 Глава У
где L(w) — область пространства слева от плоскости ?(w). Тогда Л/[5(н0] = | dS-[-v(x)P + cD(x)-PP] . (9.3.49)
Поток в стационарном состоянии определяется выражением
Js = -v(x)Ps -f t.D(x)-VPs . (9.3.50)
Предположение I. Мы не рассматриваем случаи, в которых при очень малых вероятностях Р%{х) имеют место конечные потоки Jh. Поскольку V ¦ /s = 0, мы можем записать
Js= -eF-(APs), (9.3.51)
где А — некоторая антисимметричная матрица Потребуем, чтобы матрица А имела такой же порядок величины, как D{х), или меньший.
Релаксационные уравнения выводятся в два этапа. Введем величину (5(х):
Р(х) = Р(х, t)/Ps(x) ~ Na{t)jna (jc близко к а) (9.3.52)
Nc(t)jnc (jc близко к с).
Это предположение означает, что релаксация в пределах максимума закончилась. Подставляя Р = (SPs в (9.3.49), интегрируя по частям и пренебрегая выражениями на бесконечности, получаем
Л2Г[ЗД] = е | dS-[@f{x)-VP] Ps(x), (9.3.53)
SM
где
Щх) = Р(х) + А(х). (9.3.54)
Предположение II. Р%{х) имеет резко очерченный изолированный максимум на поверхности 5(w), так что имеет место приближенная оценка