Стохастические методы в естественных науках - Гардинер К.В.
Скачать (прямая ссылка):
Подставляя выражения (9.3.79, 80) в уравнение (9.3.72), получаем Я2 - уХ + U"(0) = 0, (9.3.81)
откуда находим
444 Глава 9
Мы видим теперь, что из уравнения (9.3.82) следует, что d\/dw = О, когда w = 0. Таким образом, X не сильно отличается от выражения (9.3.82) вблизи седловой точки, и поэтому в дальнейшем мы будем аппроксимировать X выражением (9.3.82).
Только один из корней (9.3.82), а именно корень с положительным знаком, имеет смысл, поскольку с физической точки зрения для получения результата Крамерса нужно, чтобы X — оо в пределе большой величины трения. Другой корень отвечает выбору плоскости, при котором Р^{х) имеет на ней минимум.
Проинтегрируем теперь выражение (9.3.57) и определим функцию ^(w). Заметим, что функция d(w) должна быть определена вместе с единичным вектором n(w). Непосредственная подстановка в выражение (9.3.75) и использование равенства (9.3.79) дает
Точная оценка зависит от выбора UQc). Используя приближенное выражение
Итак, из уравнения (9.2.19), приспособленного к многомерной теории, мы находим следующее выражение для среднего времени первого перехода из одной потенциальной ямы в точку х = 0:
(1 + А2)-1''2 = d?(w = ОКО) = у d{ 0),
(9.3.83)
так что
d(0) = Kl + АТ1/2 -
Далее,
(9.3.84)
p(w) = j | dS ВД | = J dx2 + dp1 Ps(x, p)
S(w) SM
(9.3.85)
U(x) ~ U0— i U.x1
и оценивая результат, имеющий гауссовский вид, получаем
(9.3.86)
(9.3.87)
и, следовательно,
0 )•V
к(0) = ] p(w)~ldw = \.ЯГ2-‘ (, , = •
(9.3.88)
(9.3.89)
Бистабильность, метастабильность и проблемы перехода 445
т. е.
(9.3.90)
Сравнение с другими результатами
а) Точное выражение для среднего времени первого достижения границы в одномерном случае (уравнение Смолуховского)
Уравнение Крамерса в пределе большой величины трения сводится к уравнению Смолуховского для плотности вероятности
Точный результат для среднего времени первого достижения точки л: = 0 из точки х = а для этого приближенного уравнения имеет вид
Этот результат можно оценить численно.
б) Результат Крамерса
Этот результат получается путем применения нашего метода к одномерному уравнению Смолуховского (9.3.92) и гауссовской аппроксимации всех интегралов. Результат имеет вид
и отличается от выражения (9.3.90) для т0 заменой X — -у, безусловно справедливой в пределе больших значений у. В этом пределе
в) Уточненное уравнение Смолуховского
Более точным уравнением, чем уравнение Смолуховского (9.3.1), является обобщенное уравнение Смолуховского (6.4.108)
Р{х, t) = J dv Р(х, v, (),
(9.3.91)
а именно к уравнению
(9.3.92)
0
дг
т, = у j dx ехр [U(x)\ J dz exp [— U(z)].
(9.3.93)
(9.3.94)
t0 = (1 + U2y 2)t2.
(9.3.95)
(9.3.96)
446 Г лава 9
Используя стандартную теорию, вычислим точное среднее время первого достижения границы для этого уравнения. Оно имеет вид
тэ = у \ dx[\ + y~2U”(x)] ехр [?/(.*)] J dz ехр [— ?/(г)]. (9.3.97)
Заметим, однако, что основной вклад в интеграл по х дает окрестность точки х = 0, так что малый поправочный член у ~2U" (х) можно оценить достаточно точно, если в выражении (9.3.97) положить
U"(x) ~ U"(0) =-?/,. (9.3.98)
Мы получаем тогда уточненный результат Смолуховского
т, = (1 — y-2U2)-h, = (1 + у~гиг)хх . (9.3.99)
Нужно заметить, что в этом приближении
11 = 1°. (9.3.100)
т, т2
Это означает, что в приближении, когда все интегралы можно оценить как гауссовы, имеющие острые максимумы, наш результат согласуется с уточненным результатом Смолуховского.
г> Численные результаты
Моделируя на ЭВМ эквивалентные стохастические дифференциальные уравнения
dx — р dt (9.3.101)
dp = -[ур + U’(x)]dt + ^Yy dW(t), (9.3.102
мы можем оценить среднее время первого достижения плоскости S0, т. е. линии
Р=-Хх. (9.3.103)
Результаты приходится получать для заданного множества потенциалов. Для того чтобы оценить влияние остроты пиков, мы рассматриваем различные температуры Т в уравнениях
ах = р dt (9.3.104)
dp = —[ур + U'(x)\dt + л/2yTdW(t). (9.3.105)
