Частицы и поля в окрестности черных дыр - Гальцов Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
Поле Керра — Ньюмена в формализме Ньюмена — Пенроуза i[48—50] § 1. ВРАЩАЮЩАЯСЯ ЗАРЯЖЕННАЯ ЧЕРНАЯ ДЫРА
17"
Метрика Керра — Ньюмена принадлежит к вырожденному типу D по классификации Петрова. Как следует из теоремы Гольдберга — Сакса ![54], главные изотропные конгруэнции в этом случае являются геодезическими и бессдвиговыми, В координатах Бойера — Линдквиста эти кривые определяются системой уравнений
dt + dr =±l;M_=Q.aL=JLt т
dk A dk dk dk
где к — афинный параметр. При построении тетрады Ньюмена — Пенроуза естественно в качестве вещественных изотропных векторов выбрать векторы, касательные к кривым (39). Для верхнего знака в (39) имеем
"¦-{^•'•"•т}-' (40>
Второй изотропный вектор, нормированный условием
ря,= 1, (41)
получим, умножая (39) с нижним знаком dr/dk на Д/22,
n» = J-{r* + a\ -Д, 0, а}. (42>
Ортогональный к I» и комплексный изотропный вектор /л", удовлетворяющий условию нормировки
= — 1, (43)
можно задать в виде
mv-=-=---liasine, 0, 1,_L_). (44),
/2(/-+ ia cos Є) 1 sine J
Теперь нетрудно убедиться в том, что метрический тензор допускает разложение
g^= l»tiv + tijv—т»т*—т*тv, (45)
где ковариантные компоненты векторов изотропной тетрады равны
/ц,= {1, — S/A, 0, —asin2 6}; яц=1/22{А, 2, 0, -Aasin2G);
ш^= ["|/"2(г + to cos 0)] '{lasinO, 0, —2, —isin0(r2 + a2)}. (46)
Описанная тетрада была введена Киннерсли [52] (в координатах Керра), случай метрики Керра — Ньюмена рассматривался в [53].
Обратимся к построению спиновых коэффициентов для данной тетрады. Поскольку векторы I" и tia направлены вдоль вырожден- "18
I. ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНА, СОДЕРЖАЩИЕ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ
ных изотропных направлений тензора Вейля, обращаются в нуль -спиновые коэффициенты
x=/wvm^f; I = —nKVm*^m*v\ v = —пЩУ!т*»пУ-, a — lKVm?-m?, (47) а из всех тетрадных проекций тензора Вейля
T0=-CimaAv^V T1 = -Ctiv, Av'V T2=-C^rn'^V;
T3 = T4 = —Cvvlxm*Wm*^ (48)
отлична от нуля лишь
\jr ___М.__I____(49)
2 (л—ia cos Є)3 S (л — ja cos 0)2 * V '
Далее в силу выбора для конгруэнции изотропных геодезических афинного параметра обращается в нуль также спиновый коэффициент
є = 1/2 (lKvnHv—mKvm*Hv). (50)
Отличные от нуля спиновые коэффициенты
.a = 1/2 (lKvn»m*v—tnw,vm*vmy)\ ? = 1/2 (І^пУтУ—т^т'^тУ)-,
Y= 1/2(Zwv^ttv-mwvm*W); ц.= —%,vm*^mv;
jt =—nwvm*^f-, p = /wvm^m*v; т = І^тРпУ (51)
можно вычислить разлагая ковариантные производные от векторов изотропной тетрады снова по векторам тетрады
Zijiv = 2 Re [yVv- (a + ?*) Iyjnv-XmtvLv + pm^nv]; nKV = 2 Re [ —ynvlv + (a + ?*) n?mv + ItmllHv-(х/тул*];
m-Kv = (Y—Y*) тЛ + (a*—?) + (?*—a) mnmv +
+ TilvTiv —JMvJnv-XtivIv + p nvmv (52)
(в этих формулах учтено, что е = х= a=k=v = 0). Явный вид спиновых коэффициентов следующий:
P= —(г—iacoso)-1; т= —iasin0/l/22; я = ia sin 0 (г—iacos0)—2/j/2; ? = —p* ctg0/2)/!>; а = я—?*;
ц.= Др/22; у = ц + (г—М)/22, (53)
причем выполняются соотношения
р (X т it гia cos 0 § 1. ВРАЩАЮЩАЯСЯ ЗАРЯЖЕННАЯ ЧЕРНАЯ ДЫРА
19"
Все тетрадные проекции тензора Риччи обращаются в нуль за исключением
Фи = -f ^V Av + ^mT-) = ^r. (55>
Поскольку векторы Iv- и я" являются также главными изотропными направлениями для тензора электромагнитного поля (7), отлична от нуля лишь одна тетрадная проекция максвелловского тензора
Фі = lI2Fliv (/W+/л *W) = -V2Qp2. (56)
Тензор Штеккеля—Киллинга (29) в терминах компонент векторов изотропной тетрады имеет простой вид
flM-V = ^MVfl2 cqS2 6 + 22m(MmC) = 22Z(M/JV)-^giiv =
= 2 (а2 cos2 0 Z(m/iv) + г2т((1/лС)) (57)
(совпадение различных представлений очевидно при учете (45). Наконец, антисимметричный тензор Яно — Киллинга можно получить интегрированием уравнений (31) в формализме Ньюмена — Пенроуза [47], что приводит к результату
/м-v = 2 (a cos 0/[ц/гГ] —irmi ц/л*]). (58)
Подставляя (58) в (32), получим (57). Нетрудно также убедиться в справедливости соотношения (30), учитывая, что максвеллов-ский тензор поля Керра — Ньюмена в формализме Ньюмена —¦ Пенроуза имеет вид
Fllv= 4 ReO1 (/г[мЛ] + т[м.тС]). (59)»
След от антисимметризованного произведения (58) и (59) обращается в нуль в согласии с (33).
На горизонте событий черной дыры тетрада Киннерсли сингулярна, причем особенность не устраняется и после перехода к координатам Эддингтона — Финкелыптейна, как это видно из равенства
l»dx»=dt — drZ/b — a sin2Qdy = dv— (22/&)dr — аыпШФ. (60)
Можно, однако, сделать преобразование Лоренца (тетрадный поворот), не изменяющее векторов ту- и т*», так, чтобы преобразованные векторы Vv- и пы,
V»=—*—Л 2 (r2+aV, (61),
2 (л2 + а») Д ' V '
были бы несингулярны на горизонте будущего: "20
I. ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНА, СОДЕРЖАЩИЕ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ
Ivdxv-=-!-asin20dcp) — 22drl;
m^ 2 (л3 + a2) v 1
n'pChP^-Z^-idv—iasin20dcp); = (62)
(тетрада Хартли — Хокинга [55]). Нормировка вектора Z'" выбрана так, что Irv-I, нормировка п* соответствует соглашению (41).
§ 2. «ЗАМАГНИЧЕННЫЕ» ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ
Обсудим некоторые точные решения системы уравнений Эйнштейна — Максвелла, которые (хотя и с оговорками) можно истолковать как описывающие черные дыры в магнитной Вселенной Мелвина і[56]. Эти решения не являются асимптотически плоскими, но имеют несингулярный горизонт событий; при устремлении к нулю напряженности магнитного поля В, направленного вдоль оси симметрии, они переходят в решения из семейства Kep-ра—Ньюмена. Оценим напряженность магнитного поля, существенно влияющего на геометрию пространства-времени в окрестности швардшильдовой черной дыры, приравнивая энергию поля в цилиндре радиуса г и высоты г+=2М, равную г2МВ2/4, самой массе дыры М. Ясно, что магнитное поле напряженности В начинает существенно искажать метрику на расстоянии В-1 от сингулярности (в системе G = c=I В имеет размерность см-1). Магнитное поле порядка
