Частицы и поля в окрестности черных дыр - Гальцов Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
FvnF" =BFA* (l-^al) (10)
имеет особенность в начале координат, исчезающую при .М->-0.
Для описания пространства-времени (6) в формализме Ньюмена Пенроуза удобно ввести изотропный базис, обобщающий (1.40)-(1.44) § 2. «ЗАМАГНИЧЕННЫЕ» ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ
23
"-=7^(0'0' '-?. («і
в котором проекции тензора Вейля равны [69]
1F0 = 6 (А — 1) (А— 2) r~2A-6 = V2 A-1 tg O1F1 = 4A~V4 A-2Y4;
W2 = (А—2) г~2A-4 [(A-I) (2ctg2 6 — 1) + Ji- (ЗА— 2)
^3= -T-TyI (12)
2 г1
и удовлетворяют тождеству tF0A1F4 = (1FiZ1F3)2. Благодаря последнему удается точно решить характеристическое уравнение, определяющее тип пространства по Петрову: — все четыре корня оказываются различными (тип I [69], при M = O метрика становится вырожденной типа D).
Воспользовавшись формулой для гауссовой кривизны
K=2Re(pji —Лет —ЧЪ+Фп) (13)
(входящие сюда спиновые коэффициенты равны р=—(гА2)-1; ц = =—А/2 г3; Х=—М/А; а=— 26/гА2 и Фи = со52 Є/2А4, получим выражение для гауссовой кривизны пространственного сечения горизонта событий
К+ = [ 1 - 26 (1 -2 (2 -36Л5.) Ctg2 в)], (14)
где Л+=Л(г+). На экваторе гауссова кривизна горизонта меньше, чем на полюсах, где она совпадает со шварцшильдовой величиной. При 6=72 кривизна на экваторе обращается в нуль и при 0>Уг становится отрицательной, т. е. магнитное поле как бы вытягивает черную дыру вдоль силовых линий.
В классе решений типа «замагниченных» черных дыр метрика Шварцшильда — Эрнста является единственным статическим решением. Для вращающихся черных дыр в магнитном поле возникает индукционное электрическое поле, направленное радиаль-но, и азимутальная составляющая вектора Пойнтинга становитсй отличной от нуля, что порождает недиагональную компоненту метрики ?оф- Вектор Пойнтинга также будет отличен от нуля для не-вращающейся заряженной дыры во внёшнем магнитном поле, соответствующее решение уравнений Эйнштейна уже не будет статическим [65, 70].
Вращающаяся черная дыра в сильном магнитном поле
Потенциалы Эрнста поля Keppa — Ньюмена можно выбрать в виде [63, 70] "24
I. ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНА, СОДЕРЖАЩИЕ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ
ф = _Q (ар* sin2 6 + і cos 6); E = - Jr2 + а2 -уф-iaQp' cos 0j sin20—
_(D^4-^- + tQcosej. (15)'
Преобразование Харрисона (5) дает новые потенциалы Ф' и Er «замагниченного» решения; при этом квадрат интервала приобретает вид
ds2 = IЛ12S di2 — d02 j — ^26 (d<?—«>' dt)2, (16>
где Л=(г2 + а2)2— Aa2sin0, и функция со' подчиняется уравнению-[65]
?>©'= IЛ12Da+fA sin Q{A*DA — ADA*)f~l, (17)
в котором символом D обозначен оператор ^Adjdr+ід/дВ. Величина Лв (16) комплексна, ее значения на положительной и отрицательной частях полярной оси комплексно сопряжены друг к другу
A0 = Л (0 = 0) = Л* (0 = я) = 1 + -І- B2Q2 —ІВ (Q + аМВ), (18)
аналогичным свойством обладают потенциалы Эрнста
ф* (6 = я)=Ф(0) S Ф0= —iQ; Е* (0=я) = Е (0=0) = E0=і (4аМ + і'Q2).
(19)
Вблизи полярной оси имеем следующее отношение компонент метрики и ^ee:
gjgfit&b21 Ach4, (20)
что свидетельствует о возможной конической особенности (аналогично для 0«я), если считать, что угол <р изменяется, как в «затравочном» решении, от 0 до 2я [70]. Избежать появления конических особенностей можно, ограничив изменение азимутального* угла ф значениями 0<ф<2я|Ао|2 либо вводя новую координату ф' = ф|До|~2, изменяющуюся на стандартном интервале [0, 2я]. Заметим, что описанный выше метод построения новых точных решений не фиксирует глобальной структуры многообразия, обеспечивая лишь локальное выполнение уравнений Эйнштейна — Максвелла.
Обсудим свойства электромагнитного поля, отвечающего преобразованному потенциалу Эрнста Ф'. Компоненты электрического и магнитного полей в локально лоренцевой системе отсчета, в которой — dt, могут быть найдены по формулам '[63]
о,-/? 1 дф' в , -с 1 дФ'
B'r + ш- = -Z=--; B-r + iE'S=—1/---. (21)
r r //!sine ЗЄ 6 0 Va sine дг у г § 2. «ЗАМАГНИЧЕННЫЕ» ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ
25
Подставляя значения Ф и E (15) в (5) и далее в '(21) и сохраняя лишь линейные по напряженности магнитного поля В члены, на больших расстояниях от горизонта событий будем иметь
E^=Q + 2aMB+aMB_ (1_3cos2e); в (в+ J-L Woeef
Г г 2 г2 Г у r3 J
=? (-т-т)'sin^ ^e = (-5+ -^) Sin е. (22)
В этом приближении магнитное поле является суперпозицией однородного поля и поля магнитного диполя, а электрическое поле содержит кулонову часть (первый член в Е-р-) и фарадеевскую часть, обязанную электромагнитной индукции при вращении черной дыры в магнитном поле (интеграл по углам от второго слагаемого обращается в нуль). Заметим, что кулоновская часть соответствует не «затравочному» заряду Q, а заряду Q + 2aMB, этот результат верен с точностью до линейных членов по В. Физическое значение электрического заряда, отвечающего преобразованному решению, может быть найдено точно. Для этого вычислим полный поток электрического и магнитного полей через замкнутую поверхность, окружающую черную дыру, переходя к локальным координатам и воспользовавшись соотношениями (21). Это удобнее всего сделать для комплексной величины Q — iP, где Q — электрический, a P — магнитный заряды
