Частицы и поля в окрестности черных дыр - Гальцов Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
1(0- !<Ф) = ?оф. (10);
Симметрия электромагнитного поля относительно преобразований, задаваемых векторами Киллинга, выражается в равенстве нулю производных Ли от 4-потенциала (3) вдоль векторных полей (8),
(9)
= -^IUv = 0. (11)
Вектор времениподобен в области, ограниченной неравенством S<Woo=l-^f^>0, (12)
и становится изотропным на поверхности эргосферы
г0 (0) = Al + У Mi—Q2—a2 cos2 0, (13)
представляющей собой эллипсоид вращения. Внутри эргосферы вектор %(t) пространственноподобен, однако существует линейная комбинация векторов Киллинга
l = fco+G&.>, (14)' "12
I. ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНА, СОДЕРЖАЩИЕ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ
представляющая собой времениподобный вектор Киллинга внутри эргосферы, если выполняется неравенство
Q-<Q<Q+, (15)
где
= 1(ф) (l<0 • 1«р)±V(1(0 • %«р))2 —1?• l,fcp)) = ?331 (~g03 ±Vgl3— googaa)-
(16)
Поверхность, на которой Q+ и Q_ сливаются, является горизонтом событий, ее положение определяется большим корнем уравнения
googaa— ^3 = Asin2O = O1 (17)
откуда находим г=г+, где
r± = M±VM2—a2—Q2. (18)
Величина Q+(r+) =Q-(r+) = Qh играет роль угловой скорости вращения горизонта; в согласии с общей теоремой [26] она не зависит от угла 0
Qtf = HTTT- (19)
1+ + а-
Горизонт событий представляет собой изотропную гиперповерхность, пространственное сечение которой имеет топологию сферы. Площадь двумерной поверхности горизонта вычисляется по формуле
^=<j>/geegwd(pd0, (20)
что приводит к результату
зф = 4л (г+2+а2) = 4я[2М2— Q2 + 2М (,M2-O2-Q2)(21)
Согласно теореме Хокинга [25] площадь поверхности горизонта событий черной дыры, погруженной в материальную среду, тензор энергии-импульса которой удовлетворяет • условиям энергодоминантности, не может убывать. Масса и момент вращения дыры по отдельности могут уменьшаться, при этом, полностью потеряв вращательный момент, черная дыра окажется имеющей массу не менее величины
Mjr= (ч5#/16я) v% (22)
которая была названа «неуменьшаемой» массой черной дыры [37, 38]. Закон неубывания площади горизонта событий имеет общую природу с законом возрастания энтропии, его можно связать с потерей информации о состоянии вещества, оказавшегося под горизонтом событий. Если бы черная дыра не обладала некоторой § 1. ВРАЩАЮЩАЯСЯ ЗАРЯЖЕННАЯ ЧЕРНАЯ ДЫРА
13"
энтропиен, то при поглощении, скажем, нагретого газа во внешнем пространстве происходило бы убывание энтропии. Привлечение квантовых соображений устраняет опасность противоречия со вторым началом термодинамики, ибо оказывается, что в квантовой гравитации энтропия черной дыры действительно пропорциональна площади поверхности горизонта событий (21) в единицах квадрата планковской длины Ipi = (hG/c3)'1' 10~33 см:
S=MJ (4lpi2). (23)
Это отвечает и более ранним расчетам эффекта рождения частиц в черных дырах в рамках полуклассической теории [13, 14]. Суммарная энтропия черной дыры и поглощаемого вещества при этом не убывает, поскольку при поглощении увеличивается масса (а также, возможно, уменьшается вращательный момент) черной дыры, вследствие чего возрастает площадь поверхности горизонта событий. Следует отметить, что знаменатель в (23) крайне мал, поэтому при макроскопическом изменении площади горизонта энтропия черной дыры йзменяется на весьма большую величину.
На горизонте событий постоянна линейная комбинация компонент 4-потенциала, имеющая смысл электростатического потенциала горизонта для наблюдателя, вращающегося вместе с горизонтом
Vh = A9 +QhAv= Qr+ . (24)
'.(- + а
Постоянна также величина, получившая название «поверхностной гравитации» черной дыры, которая равна ускорению (в единицах координатного времени) частицы, удерживаемой в покое на горизонте, в инвариантном виде
X= \l'^n'H'v\, ¦ (25)
где вектор Гц определяется формулой (14). при Q = Qh (т. е. является изотропным вектором, лежащим на гиперповерхности г= — г+), а — другой изотропный вектор, нормированный условием /',л''-1. Для метрики Керра — Ньюмена поверхностная гравитация горизонта равна
(г+-М) rl+a
V + > /Г)С\
= ^2 . (26)
При поглощении черной дырой порции вещества с энергией dM, несущего вращательный момент (относительно оси симметрии) dJ и электрический заряд dQ, изменение мйссы черной дыры сопровождается изменением площади поверхности горизонта событий согласно соотношению :..¦,.
dM = — dJt + QHdJ + VHdQ,..............(27)
8я ¦ "14
I. ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНА, СОДЕРЖАЩИЕ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ
которое устанавливается на основе уравнений движения вещества. Выразив ds4- через энтропию черной дыры, можно придать равенству (27) смысл первого начала термодинамики, если отождествить величину х/2л с температурой черной дыры (в обычных единицах 7я=йх/2яс). Обоснованность этого шага была доказана Хокингом [13], установившим, что черная дыра возбуждает квантовое рождение частиц с тепловым спектром, характеризующимся температурой 7я = х/2я. Тем самым обнаруживается удивительное единство законов классической механики, теории гравитации* квантовой теории поля и термодинамики.
