Частицы и поля в окрестности черных дыр - Гальцов Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
Гу 2 Гу ЗМ
Для случая метрики Шварцшильда будем иметь
L = 4 К2ц3М [Е (9E2 — 8ц2)3/2—27Ei + 36ц2?2 —8ц4]_1/2. Интегрируя уравнение траектории (20) При L, ~ L>cr, нзходим
4> = ^-(Q+lnv+-Q_lnv--Q1lnv1)r (26)
где
n 2M(aE — L)Up + L /up — U3 +-/и — U3 . —____> Vp — ,_____>
уU1-U3(Up-U1) (Up — и.) V Up — u3—yu—u3
u± = -j-\ P=U +. (27)
r±
Из этой формулы следует, что ультрарелятивистская частица, приходящая из бесконечности с моментом, близким к критическому, будет навиваться на круговую изотропную геодезическую. Движение нейтральных частиц в пространстве Эрнста — Шварцшильда
Для исследования геодезических линий в пространстве-времени (2.6) воспользуемся уравнением Гамильтона — Якоби
__M^V--4-ї2--— =f—V = ^2. (29)
ДА2 V dt ) ггA2 \дг ) г2A2 \дЪ J г2 sin2 0 \ <Э<р J
решение которого в силу аксиальной симметрии и стационарности поля представимо в виде
S = —Et+L4>+Sl(r, 0)„ (30) "32
I. ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНА, СОДЕРЖАЩИЕ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ
однако переменные в уравнении для Si в общем случае не разделяются. Тем не менее из соображений симметрии ясно, что возможно чисто радиальное движение вдоль полярной оси, а также плоское движение при 0 = я/2. Для траекторий в плоскости 0 = я/2 из (29) получим
S1 (г) = j (г2E2/AA2 —ц2—(ЛLflri)1/2 dr. (31)
'Соответствующие первые интегралы уравнений движения таковы:
цЛ2^ = -^; = цЛ2^ = ±(?2-^{{)1/2, (32)
ds Д ds г2 ds
где
^ = + = ,33,
В отличие от случая шварцшильдовой метрики эффективная потенциальная энергия радиального движения (33) неограниченно возрастает при r-voo, причем эта особенность сохраняется и для безмассовых частиц, если только ЕФ0. Отсюда следует, что уход массивных частиц на бесконечность в плоскости 0 = я/2 вообще невозможен, а в случае ^=O возможен лишь при чисто радиальном движении L = O.
Для безмассовых частиц введем прицельный параметр p = L/? и, разделив друг на друга первые два из уравнений (3.32), получим
A = (34)
dt г2 \ г* J v '
Равенство нулю подкоренного выражения определяет точки поворота. Помимо значения п1 координаты точки поворота, переходящего в соответствующее шварцшильдово значение при ?-vO, существует еще одна точка поворота, координата которой при г~^>М, ?р<1 равна
r,! = 24/3/(?4V/3). (35)
Эта точка отвечает отражению частицы от «бесконечности» при Р^О.
Продифференцировав выражение (34) по параметру г, в результате совместного решения уравнений Uett = dUett/dr = 0 получим условие для определения радиусов замкнутых круговых изотропных геодезических
г—Ш=—?2r2(3r—5М). (36)
Уравнение (36) при B = 0 имеет один корень г=ЗМ, а при достаточно больших В корней в физической области вообще нет, так § 3. ОРБИТЫ ПРОБНЫХ ЧАСТИЦ
33
как правая часть (36) слишком быстро растет. Для нахождения «критического» значения напряженности магнитного поля Вст, при котором имеется одна замкнутая светогеодезическая, учтем, что в этом предельном случае кривая, соответствующая правой части (36), касается прямой г = ЗМ в некоторой точке г о и, следовательно, значение производной от правой части (36) в этой точке равно значению производной левой части, т. е. единице. Совместно с уравнением (36) это условие дает
Г0—J-M (8 + /19),
а соответствующее значение Bct равно
Bcx = 2 • 31/2 Bm (169 + 38 /І9)-1 /2.
(37)
(38)
При В>ВСТ круговых светогеодезических нет, при B = Bcr имеется одна круговая изотропная геодезическая, при В<ВСТ существуют две такие светогеодезические с радиусами Г\ и г2, для которых, с учетом малости отношения BctIBm можно получить следующие приближенные выражения:
(39)
Отметим, что при ?->-0, T1 переходит в шварцшильдово значение rx=3M, a T2-VtXJ.
Для массивных частиц при В<ВСТ в области T1CrCr2 существуют круговые орбиты, параметры которых определяются из условий Ue ff = Е,
dU,
eff
дг
У = '
X
0:
-/АЛ
(г—2М) ( 1
1/2
X
цМ
г—ЗМ— 4(г—2М) ^l — ~~
-1/2
_1_
Л
1/2
X
-1/2
(40)
По мере приближения к светогеодезическим (39) эти орбиты становятся ультрарелятивистскими, причем
Iim у (г) ¦
г-W1
1 M ,. , . 2 У 2
і"73ТГ; Jlr^ M = -^vr-
M
г —г г
1/2
(41)
2 Д. В. Гальдов "34
I. ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНА, СОДЕРЖАЩИЕ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ
Отметим, что фактор Л в области существования круговых орбит, как следует из (38), (39), заключен в пределах 1<А«4/з.
Движение заряженных частиц в однородном магнитном поле около черных дыр
Для описания движения заряженных частиц в поле (2.6) „ (2.7) в уравнениях (29), (31), (32) и (33) следует сделать заме-еВг2
ну L->L + sin2 6, где е — заряд частицы, причем параметр
L теперь играет роль обобщенного импульса, соответствующего азимутальной координате. Правое и левое вращения в экваториальной плоскости становятся неэквивалентными из-за различного1 направления силы Лоренца. По этой же причине радиальное движение при фиксированном значении L различно для частиц разного знака заряда. При значениях L, удовлетворяющих неравенству
L< \e\BM2= \е\МВ/Вм, (42)
