Частицы и поля в окрестности черных дыр - Гальцов Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
2я|л„|» я
Q' — iPj d<p jV/2(?? —t??)sin0d0 =
о 6
= 'l^0'2 (CDf (O)-Ф' (n))=Q+2aM5--і-Q3B2. (23)
Таким образом, магнитный заряд преобразованного решения остается равным нулю, а электрический существенно отличается от затравочного значения: Q' = Q + 2аМВ — 1JiQ3B2.
С помощью соотношений (21) нетрудно также вычислить точное значение компонент электрического поля на оси симметрии ??(0 = О) при г-»-оо:
Е?~В2 IA0 Г4
(24)
Эта величина обращается в нуль лишь для шварцшильдовой дыры (a = Q = O); таким образом, поле, соответствующее преобразованному решению, уже не является чисто магнитным даже асимптотически.
? + (Q + 2аМВ) (1 + + <f (W- )*) . "26
I. ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНА, СОДЕРЖАЩИЕ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ
Для полного определения метрики необходимо построить решение уравнения (17) для величины со', определяющей недиагональную компоненту метрики go9. Эта операция неоднозначна, так как в уравнения входят лишь производные ОТ О)' и к любому решению можно добавить произвольную постоянную. В принципе доопределение параметров можно было бы осуществить, фиксируя значения массы и углового момента дыры в преобразованном решении, однако сами эти величины становятся неопределенными из-за асимптотически неплоского характера метрики. Характерно, что отличное от нуля значение со' получается при равном нулю затравочном а [63]
о' = _ ЭДЁ. + Q?3 /г_Asin2 6 + + const. (25)
г \ 2г 2г J
Таким образом, преобразованное решение содержит эргосферу, параметры которой зависят от напряженности магнитного поля. Это открывает любопытную возможность «управления» энергетикой черных дыр (включая квантовые процессы, подробнее см. § 19) с помощью внешнего магнитного поля. Анализируя поведение решения уравнения (17) в окрестности горизонта событий, можно показать, что функция стремится на горизонте к постоянному (не зависящему от угла 0) значению (чего и следовало ожидать согласно теореме Картера о постоянстве угловой скорости вращения горизонта) и разложима в окрестности горизонта в степенной ряд. Далее нетрудно убедиться в отсутствии сингулярности на горизонте для преобразованного решения, переходя к координатам Эддингтона — Финкельштейна
dv = dt +tf! dr, гіф = dtp—©+ dr, = (г+), (26) А А
в которых квадрат интервала (16) не имеет особенностей. Площадь поверхности горизонта событий вычисляется по формуле (1.20) с учетом изменения границы интегрирования по азимутальному углу
2Я|Л0|2 Я _
Л = f ^Ф J Vёгзёзз = 4я IA012 (г2, + а2). (27)
o о
Параметры М, а, так же как и Q (для которого это было продемонстрировано явно (23)) нельзя интерпретировать как физические значения массы и параметра вращения преобразованного решения, более того, значения массы и углового момента, определяемые с помощью двумерных поверхностных интегралов, содержащих поля Киллинга
Moo = --^- ф ^liv; J00=-I- j ^fdSliv, (28)
00 оо § 3. ОРБИТЫ ПРОБНЫХ ЧАСТИЦ
27
расходятся, если их вычислять по бесконечно удаленной поверхности. Значения Мн, Jh этих интегралов по поверхности горизонта конечны; разности M00—Мн и Joc—Jh выражаются через объемные интегралы от соответствующих компонент тензора энергии-импульса [26]
Мх-Мн = $ (2Т % Jx-Jh = - f 7?,??. (29)
При B = 0 эти величины конечны и выражают вклад электромагнитного поля Керра — Ньюмена в полную энергию и угловой момент конфигурации
А,.-* * (і+Л±?.Л у„_у « Q.[I_A.+
2 r+ \ ar+ / 4 r+ L °2
; / = arctg ——. (30)
г+
При Вф 0 соответствующие электромагнитные вклады расходятся.
§ 3. ОРБИТЫ ПРОБНЫХ ЧАСТИЦ
Интегралы движения в поле Керра — Ньюмена
Исследованию движения нейтральных и заряженных частиц в поле черных дыр посвящено много работ (см. обзоры [71, 72], а также [2, 21, 36]). Впервые на возможность полного разделения переменных в уравнении Гамильтона — Якоби для заряженных частиц, движущихся в поле Керра — Ньюмена, было указано в работе Картера >[24]. Помимо интегралов движения, ассоциируемых с векторами Киллинга, Картером был обнаружен еще один интеграл, выступавший в качестве константы разделения переменных. Впоследствии было выяснено [41—45], что существование этого интеграла связано с наличием нетривиального тензора Штеккеля — Киллинга (1.57) для метрики Керра — Ньюмена, согласованного с электромагнитным полем.
Доказать существование интегралов движения можно и не обращаясь к формализму Гамильтона — Якоби. Действительно, если
(1)
обобщенный импульс частицы в электромагнитном поле с 4-потен-циалом А", то в силу уравнений движения
циу и»-,*=eF^w (2)
производная от скалярного произведения где — вектор
Киллинга, "28
I. ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНА, СОДЕРЖАЩИЕ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ
(ItA) = (?^ + = HltltvU^v + е (CglAti) (3)
обращается в нуль, если производная Ли от 4-потенциала вдоль векторного поля Киллинга равна нулю (первый член во второй строчке равен нулю в силу антисимметрии ковариантной производной !„.,„). Для поля Keppa — Ньюмена SflAll= 0, и, следовательно, существуют два интеграла движения — полная энергия.
? =SftA = <^о = Ц"о + еЛ0 (4>
