Частицы и поля в окрестности черных дыр - Гальцов Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
Помимо существования векторных полей Киллинга, симметрия пространства-времени может выражаться наличием симметричных тензорных полей более высокого ранга, удовлетворяющих уравнениям Киллинга i[41—45]. Для метрики Керра — Ньюмена имеется нетривиальный тензор Штеккеля — Киллинга второго ранга
Oiiv = OVII, ТЭКОЙ, ЧТО
+ OviJM- + flX-WV = 0« (28)
В координатах Бойера — Линдквиста отличны от нуля его компоненты [24, 25]
а00 = а2[ 1 + (Q2—2Л1г)cos26/2]; ап=—а2cos262/A; аа2=г22; аиз = —а sin2 6 [Да2 cos2 6 + г2 (г2 + а2)]/2; а33 = [г2 (г2 +а2)2 + Да4 sin2 26/4] sin2 6/2. (29)
Соответствующая симметрия электромагнитного поля выражается соотношением
a^Fxf=0, (30)
из которого вытекает равенство для тензора Риччи a„[vJ?x.f=0. Выполнение условий (28), (30) обеспечивает существование, помимо-энергии и проекции момента количества движения на ось симметрии, еще одного интеграла движения — «третьего» интеграла Картера ;[24] для заряженных частиц в поле Керра Ньюмена: a„v (dxuJds) (dxVds).
Тензор Штеккеля — Киллинга можно выразить через антисимметричный тензор Яно — Киллинга /,«=<—Un [46], удовлетворяющий уравнению
W + W = 0, (31)
в виде свертки
Q1IV=ZWv (32)
Условие (28) при этом удовлетворяется автоматически в силу (31), а соотношение (30) будет иметь место, если
UJrXf=Q.
(33) § 1. ВРАЩАЮЩАЯСЯ ЗАРЯЖЕННАЯ ЧЕРНАЯ ДЫРА
15"
Заметим, что в силу уравнения (31) тензор fyiv,h полностью антисимметричен. Явное выражение Zllv для поля Керра — Ньюмена дано ниже.
Аналитическое расширение
Метрика Керра — Ньюмена в координатах Бойера — Линд-квиста (1) имеет особенность на поверхностях г = г± (значение г_ второго корня уравнения (17) задает положение внутреннего горизонта черной дыры — горизонта Коши). Если ввести запаздывающую систему координат Эддингтона — Финкелыптейна с помощью замены 1-форм
dt = du + r2 + a2 dr; dtp = dO + A dr, (34)
А А
метрика становится несингулярной на горизонте событий
ds2 = A(du—a sin2 6 d<D)2/2—sin2 6 [(г2 + a2) dO — a du]2/2 —
—2d62 + 2dr (du—a sin20dO). (35)
Она, однако, несимметрична относительно отражения времени из-за наличия члена 2drdu. Это проявляется в том, что поверхность г = г+ не пропускает направленные в будущее времениподобные и изотропные кривые, выходящие из области г<г+ во внешнюю область. Альтернативная система опережающих координат задается подстановкой
dt = dv—r* + a2 dr, dy = dG>---dr; (36)
A А
она также несингулярна при г=г+, однако в ней поверхность г = = г+ пропускает направленные в будущее мировые линии частиц лишь из черной дыры наружу. Явные выражения для и и v можно получить, интегрируя соотношение dr* = (r2+a2)dr/Д, задающее «черепашью» координату
r* = r + (x+)-1ln|r-r+|-(x_r1ln|r—г_|. (37)
Из (34) и (36), очевидно, будем иметь u = t— r*\ V = t+ г*. При больших г черепашья координата близка к г, при г-+г+ Ьна стремится к —сю. В области r_<r<r+ координата г* вновь пробегает бесконечный интервал, причем г*->оо при г->г_. Аналитическое расширение пространства-времени Керра — Ньюмена до геодезически полного (с точностью до наличия кольцевой сингулярности г=О при 0 = я/2) многообразия осуществляется с помощью введения координат типа Крускала, которые в области г>г+ связаны спив соотношениями
U=- ехр(—х+и/2); У=ехр (х+и/2) (38)
и принимают в ней значения —oo<t/<0, 0<У<оо. Распростране- "16
I. ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНА, СОДЕРЖАЩИЕ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ
ние областей изменения U и V на полные прямые (—сю, сю) приводит к многообразию, состоящему из четырех областей I, II, Г и ІГ, показанных на рис. 1. Область II, в которой t/ = exp(—x+u/2), V=exp (x+v/2), изометрична области r_<r<r+ в системе координат (36), область IP изометрична той же области в системе координат (35), кроме того, возникает еще один экземпляр внешнего
пространства г>г+ (область Г), в которое можно попасть, двигаясь по направленным в будущее времениподобным или изотропным линиям из области II.- • -у Подобное аналитическое продолжение можно далее провести и на внутреннем горизонте г_, в результате появляется бесконечная последовательность чередующихся областей типа I и II, изображенная на рис. 1 (подробнее см. в [5, 35, 36]). Области типа
Рис. 1. Диаграмма Пенроуза аналитического продолжения метрики Керра— Ньюмена при 0фк/2. Точка г=0 отвечает кольцевой сингулярности при 0= = я/2. Многообразие аналитически продолжается в область —оо </-<0 через диск г = 0, ОгёС0<я/2, границей которого является кольцевая сингулярность
III, лежащие внутри поверхности r=r—, содержат сингулярность г=О при 0=я/2 (при этом обращается в нуль величина 2 в (1), а инварианты кривизны бесконечны); сингулярность метрики Керра — Ньюмена является таким образом границей диска г=О, 0<6<я/2, внутри которого метрика не имеет особенностей. Ее можно поэтому аналитически продолжить внутрь кольцевой сингулярности на область отрицательных значений координаты г вплоть до г-э—оо. Это приводит к усложнению причинной структуры многообразия. Вблизи кольцевой сингулярности вектор Киллинга |(ф) становится времениподобным, а его замкнутые орбиты будут представлять собой замкнутые времениподобные кривые. Эти патологические особенности, однако, не могут повлиять на происходящее во внешней области г>г+. Небезынтересно также отметить, что эффекты поляризации вакуума квантовой теории поля приводят к разрушению внутреннего горизонта.
