Частицы и поля в окрестности черных дыр - Гальцов Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
Автор благодарит проф. И. М. Тернова за замечания, касающиеся глав VI и VII, а также своих коллег В. И. Петухова, А. А. Матюхина, А. Н. Алиева, Г. А. Чижова, аспирантов Д. Нунь-еса, А. В. Тихоненко, М. В. Морозова, А. А. Ершова, совместно с которыми были получены отдельные результаты. Автор глубоко признателен М. М. Колесниковой за помощь при подготовке рукописи книги. ГЛАВА I
ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНА, СОДЕРЖАЩИЕ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ
§ 1. ВРАЩАЮЩАЯСЯ ЗАРЯЖЕННАЯ ЧЕРНАЯ ДЫРА
Существующие представления о черных дырах основываются на теоремах, доказываемых средствами дифференциальной геометрии многообразий. Изложение результатов теории имеется в книгах [2, 5, 224], и мы не будем повторять их здесь. Отсылая читателя за подробностями к монографиям и сборникам [1, 2, 5, 14, 21-—23], а также оригинальным статьям и обзорам [23—26], ограничимся кратким перечислением основных положений, лежащих в основе современных представлений о черных дырах.
Наиболее общее семейство вакуумных решений уравнений Эйнштейна, описывающих стационарные асимптотически плоские пространства-времена с несингулярным горизонтом событий и регулярные всюду вне горизонта, обладает осевой симметрией [25] и совпадает с двухпараметрическим семейством Керра ,[8]. Два независимых параметра M и а задают массу и момент вращения черной* дыры. Теоремы, подкрепляющие это утверждение, были сформулированы в работах if27—28] для невращающейся черной дыры и обобщены на метрику Керра в [29, 30]. Описывающие черные дыры решения невакуумных уравнений Эйнштейна, могут характеризоваться большим числом параметров. Так, в случае системы уравнений Эйнштейна — Максвелла, перечисленными свойствами обладает семейство решений Керра — Ньюмена [31 j, имеющее четыре параметра М, a, Q и Р, где Q — электрический, a P — магнитный заряды, единственность этого семейства доказана в [32]. Имеются решения системы уравнений Эйнштейна — Янга — Миллса, описывающие черные дыры, несущие калибровочные (цветовые) заряды [33], а также системы Эйнштейна — Янга — Миллса — Хиггса со спонтанно нарушенной симметрией, описывающие точечные гравитирующие монополи и дайоны, скрытые под горизонтом событий [255—260]. В расширенной N=2 супергравитации найдены решения, описывающие экстремально заряженные черные дыры, обладающие фермионной структурой. Существенно, что все перечисленные решения известны для полей нулевой массы, массивных собственных внешних полей черной дыры иметь не могут [34].
Поле Керра — Ньюмена
Откладывая обсуждение решений с магнитными и калибровочными зарядами до § 18, рассмотрим подробнее решение Керра — Ньюмена, описывающее вращающуюся электрически заряженную "10
I. ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНА, СОДЕРЖАЩИЕ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ
черную дыру [31]. В координатах Бойера — Линдквиста [35] квадрат интервала пространства-времени имеет вид
ds2 = A (dt—a sin2 0 гіф)2 —!ІЕІ1 (а dt—{г2 + а2) гіф)2—— гіг2 -S гіб2,
(1)
где введены стандартные обозначения
A = г2 — 2Mr + a2 + Q2; 2 = r2+a2cos20. (2)
4-потенциал (1-форма) электромагнитного поля, определяемый соотношением
А = A^dx11 = (dt —a sin2 0 гіф), (3)
J2
при а=0 не отличается от потенциала точечного заряда в пространстве Минковского. Дополнительное слагаемое, пропорциональное а, на пространственной бесконечности совпадает с потенциалом магнитного диполя величины |x = aQ. Отличные от нуля компоненты контравариантного метрического тензора равны (координаты t, г, 0, ф нумеруем 0, 1, 2, 3)
goo = [(Г2 + а2)2 _да2 silI2 Є] (2Д)"1; g" = —Д2Г1; g22 = —S-1J
^s3 = (я2 sin2 0—A) (ASsin2 0)-1; g03 = (2Mr -Q2) a (SA)-1. (4)
Для метрики Керра — Ньюмена имеется тридцать ненулевых символов Кристоффеля, из которых двадцать два попарно равны
I-S1=-J*; Г?3 = ^-е(р62 + 2?г); Гэг = —sin2 0 sin 20;
Д Д 2
T-I Др T-I г , М — г ri т-2 аг2 a2 sin 20
—Г,, = —+ -у-; T12= T22=-AI11= —,
т-1 гА т-2 г т-1 Asin2S, . о ¦ о
Г22=--—; Tf2 = -; T33=---—(г + Pa2Sin2 0);
2j 2J ZJ
т-о гіт-2 qa2 . па ri a Apsin2 0' r2 qab2 sin 20.
12o= u 00=sin zb; I 03=-=-, іоз=--—-> (о)
2j Zj 2j
•p2 sin 2Э
гзз=—Щ-
2
Гїз = -7- (1 + 2q) + a2p Г^ =
Д Д
= M [(1 + 2q) (62 —2qa2 sin2 0) — 2qa2b2^ sin2 0], где обозначено
62 = r2 + a2. p = s-2[rQ2 + M(S-2r2)]; q= (Q2-2Afr) (22)-1. .(6) § 1. ВРАЩАЮЩАЯСЯ ЗАРЯЖЕННАЯ ЧЕРНАЯ ДЫРА
11"
Символы Кристоффеля Г01, Гїз, Гц, Г22, Г33, T03, Г00, Гі2, Г0і, Ti3 являются четными функциями разности [я/2 — 0] и не обращаются в нуль в экваториальной плоскости метрики Керра. Остальные компоненты связности нечетны относительно отражения в плоскости 0 = я/2, где они принимают нулевые значения. Это полезно иметь в виду при рещении уравнений движения частиц.
Отличные от нуля компоненты тензора электромагнитного поля равны
Fl=-= ^=-^F32 = -^sin20, (7)
а 2,3 о1 2,*>
что соответствует при г -V с» суперпозиции кулонова ПОЛЯ и ПОЛЯ магнитного диполя.
Линейный элемент (1) не зависит от координат f и q;, поэтому векторы
1(0 = ?^- = ^ (8)
и
= (9)
являются векторами Киллинга, порождающими сдвиги по времени и вращения вокруг оси симметрии. Векторы Киллинга и |(ф> не ортогональны между собой
