Частицы и поля в окрестности черных дыр - Гальцов Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
и момент количества движения
L = ZfaPp = P3 = 1Ш3 + еАй. (5)
Третий интеграл (Картера) имеет вид
K = H2CttivUW, (6)
где Cillv — тензор Штеккеля — Киллинга (1.57). Производная от этой величины вдоль орбиты частицы
= її2 (a^^uV- + 2а^и* иУи}-) = ^2 + 2a(lvF^u'-)
(7>
обращается в нуль в силу равенства нулю (1-28) и соотно-
шения (1.30), которое имеет место для электромагнитного 4-потенциала поля Keppa — Ньюмена. Учитывая явный вид тензора Cilly (1.29), (1.57), интеграл Картера можно представить следующими равнозначными формулами:
К = ц2(2\ит\2 + а2cos2 6) = тп2 (2щип—г2) = -J- (u0—a Sin2 0«3 + U1 ^ (и0—a sin2 6« 3—и1' = ц2 [(au°—(r2 + а2) и3)2 sin2 0 + 22 (a2)2 + a2 cos2 в], (8)
= H2
где Ui = UHv, Un = UtlHil, ит = и»тц — проекции 4-скорости на векторы изотропной тетрады.
Ниже рассмотрены частные классы орбит нейтральных и заряженных частиц около черных дыр, которые использованы для приложений. Более полную информацию можно найти в [2].
Экваториальные геодезические в пространстве-времени Keppa Выражая компоненты 4-скорости через интегралы движения (4), (5) и (8) (при Atl = 0) и учитывая равенство gvyuv,W=\, получаем систему первых интегралов уравнений движения
а dt п-// 2 , 2\ і 2Mra2 . , tMra Т
ДЦ— =E {{г2 + а2) + —— sin2 в J--——L, § 3. ОРБИТЫ ПРОБНЫХ ЧАСТИЦ
29
л гіф _ Шга Е L Л 2Mr
^ ds S sin2 0 \ S
SV (-^-)2 = Kr2 + fl2)E-aLf— А (К + ц2г2), (9)
SV (-f-)S = (K-|iVcos«e)-(fl?sine--^
Эти уравнения допускают возможность движения в одной плоскости, лишь если эта плоскость экваториальная, что ясно уже из соображений симметрии. В этом случае, полагая 0 = я/2 и выразив К через E и L из условия dQJds=0
K=(aE — L)2, (10)
получим систему из трех уравнений
А ц • dt I ds = E (г2+а2 + 2 Ma2Jr),
ds г \ г
(11>
rV = [(г2 + a2) E—aL]2 —А [(а? —L)2 + ц2г2] =f(r).
Для отыскания параметров круговых орбит нужно решить систему уравнений
/(г) = 0, -f =0, (12)
аг
откуда находим следующие выражения для энергии E и угловога момента L через радиус орбиты г [73]:
= _ г — 2М±а(М/г)Ч2 (r2 — 3Mr±2a VMr )
2а У Mr+ а2
L± =± I /"_^
и- V г (г2-:
/— i/o . (14)
ЗМг± 2аУМг)1/2
Здесь верхний знак соответствует движению частицы по направлению вращения черной дыры (прямые орбиты), а нижний — в противоположном направлении (обратные орбиты). Знаменатель в выражениях (13) и (14) обращается в нуль при r-vrT, где гт — радиус круговой изотропной геодезической (круговой фотонной: орбиты)
г2у—ЗМгу ± 2а VMTT = (15)
откуда следует
г* = 2М 11 + cos -|-arccos(=T= a/Af)J J. (16), "30
I. ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНА, СОДЕРЖАЩИЕ ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ
Движение массивных частиц по круговым орбитам с радиусом, близким к гт, является ультрарелятивистским; полагая г= = гт(1 + а), ccCl, из (13) и (16) найдем
v»_ rv-М Г~М 1
Y — 6а/-..
'v \ »'7
Заметим, что в поле Шварцшильда (а = 0) радиус круговой фотонной орбиты
гт=ЗМ.
Подстановка (13) и (14) во второе уравнение системы (11) дает угловую скорость кругового движения частицы в экваториальной плоскости пространства Keppa
к- (14
где cos — соответствующая угловая скорость в поле Шварцшильда
со| = М/г3. (19)
Вопрос об устойчивости движения по круговым орбитам будет рассмотрен ниже при исследовании малых колебаний около круговых орбит. Заметим только, что в поле Keppa не все круговые орбиты являются связанными (т. е. имеют как видно из
(13), возможны круговые геодезические и при Y>1 (они все оказываются неустойчивыми).
Для описания инфинитного движения удобнее использовать в качестве переменной обратный радиус и= 1 /г. Из второй пары уравнений (11) находим тогда уравнение для траектории в виде
diр__ ZMaEu + L ( \ — Щи)
du ~ (1 — 2 Mu + a2«2)[F(u)]1/2 ' (
где F (и) — полином третьей степени
F (и) = 2M (аЕ -L)2 и3 + [а2 (?2—ц2) -L2] и + 2у?Ми + E2 — ц2 =
= 2M {аЕ-L)2 (U-U1) (и—Ui) {и—и3). (21)
В зависимости от положения корней Ui, U2, U3 движение имеет различный характер. Если все корни действительны, причем «з< <0<«2<«1, происходит рассеяние, т. е. частица, пролетев мимо черной дыры и сделав, возможно, один или несколько оборотов вокруг нее, уходит на бесконечность. Захват частицы черной дырой отвечает комплексным значениям корней щ и U2. Случай U1 = = U2 (все корни действительны) является критическим. При этом траектория частицы асимптотически навивается на окружность § 3. ОРБИТЫ ПРОБНЫХ ЧАСТИЦ
31
радиуса го= («i)_1, совершая бесконечное число оборотов вокруг черной дыры. В этом последнем случае
U1 = U2 = IQ + (Q2 — 12Л1а/01/2]/6Л1Я,
u3=[Q—2 (Q2-UM2K)1/Ц/ШК, (22)
где К определяется формулой (10) и Q = L2—a2 (E2—jx2), причем
E2 — y,2 =—2u3ux2M(aE — L)2. (23)
Уравнение (23) — алгебраическое уравнение шестой степени относительно момента количества движения, аналитически его решение можно найти в случае нерелятивистских частиц (jE^jx)
Lcr = Li = ±2цМ (1 + 1/1 =F а/М) (24)
и ультрарелятивистских
Ui ¦- Ita — "^ . i/o '-
1 — 1 ; L = aE ^ + (25)
