Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
уравнения (45.03) имеет вид:
<в = -У1 -I-a*-f-a2,-f-а\ • л:'. (45.04)
Приравнивая постоянным производные от ш по av а2, as, получаем
прямолинейное и равномерное движение со скоростью, меньшей скорости
света.
Таким образом, за основные уравнения, наиболее непосредственно отражающие
свойства пространства-времени, мы можем взять уравнения (45.02) и
(45.03).
Форма входящего в эти уравнения оператора
МЦГ
(45.05)
§ 45] свойства пространства-времени и координаты
207
сама характеризует как свойства пространства-времени, так и физический
смысл координат.
Если бы мы не знали, что такое независимые переменные (х'0, х[, х\, x's),
а знали бы только, что они как-то связаны с пространством и временем
(или, выражаясь математически, что они служат для арифметизации
пространства и времени), мы получили бы их физическое толкование,
рассматривая процессы, описываемые уравнениями (45.02) и (45.03).
Фактически при построении теории относительности мы так и поступали.
Физический смысл переменных (45.01) устанавливался нами как бы в два
приема. Первоначально мы пользовались теми (не совсем точными) понятиями
координат и времени, которые были приняты в классической дорелятивистской
физике. Предварительное определение времени связывало переменную t с
ходом часов (или какого-нибудь периодического процесса), а определение
пространственных координат связывало переменные х, у, z с расстояниями,
измеряемыми при помощи твердых тел на основе законов евклидовой геометрии
(координатная сетка). Но мы сразу же обратили внимание на то, что эти
определения нуждаются в уточнении.
В самом деле, пользование часами, находящимися в разных точках
пространства, требует решения вопроса о их синхронизации, пользование же
твердыми масштабами для измерения больших расстояний не только невозможна
практически, но и вызывает принципиальные возражения.
Определения физических величин никогда не являются произвольными, а
всегда с большей или меньшей точностью отражают природу. Поэтому
уточнение определений возможно только на основе более глубокого познания
природы. В интересующем нас случае (определение времени и координат) мы
можем опираться, кроме использованного еще Ньютоном закона
прямолинейности и равномерности движения свободного тела, на твердо
установленный закон распространения фронта световой волны в свободном
пространстве, т. е. на уравнения (45.02) и (45.03). Так мы и поступали
при построении теории относительности, которая, по существу, является
теорией пространства и времени. (Название "теория относительности"
обусловлено историческими причинами и лишь весьма односторонне отражает
ее содержание.) Действительно, фундаментальное для теории относительности
преобразование Лоренца, отражающее свойства пространства и времени и
уточняющее смысл переменных х, у, z, t, выводится из закона
распространения фронта волны (в соединении с требованием сохранения
прямолинейности и равномерности движения), а не априори, не до
установления этого закона.
Таким образом, как свойства пространства-времени, так и смысл галилеевых
координат (45.01) устанавливаются на основе уравнений (45.02) и (45.03).
208 ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ В ПРОИЗВОЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ [гл. IV
Но уравнение фронта волны и уравнение Гамильтона - Якоби для свободной
материальной тонки могут быть написаны и в более общей форме
(45-06)
(45-07>
и тогда только что высказанное утверждение относится и к ним: как
свойства пространства-времени, так и смысл координат (х0, хх, х2, х.\)
устанавливаются на основе этих уравнений.
Предположим, что величины gпредставляют заданные функции своих
переменных. Какие свойства этих функций отражают свойства самого
пространства-времени и какие обусловлены лишь выбором координат?
Если принять, что объективные свойства пространства-времени правильно
описываются обычной теорией относительности, то они могут быть
сформулированы в виде утверждения, что существуют галилеевы координаты, в
которых уравнения (45.06) и (45.07) принимают вид (45.02) и (45.03).
Это утверждение означает, что существует подстановка
ха -/о.(.Хо* х^, Xi^, ATg) (7 0, 1,2, 3), (45.08)
которая приводит выражение
№ = Л5-09>
к виду
(?")*= (45Л°)
Из общего тензорного анализа мы знаем, что необходимым и достаточным
условием приводимости квадратичной формы (45.09) к квадратичной форме с
постоянными коэффициентами является равенство нулю тензора кривизны
четвертого ранга, составленного из коэффициентов g?4 (и соответствующих
g^J. Чтобы приведенная квадратичная форма имела (при квадратах '
производных) один знак плюс и три знака минус, необходимо еще выполнение
величинами g'f тех неравенств, которые были установлены в § 35.
Таким образом, уравнения, которым должны удовлетворять величины gv-'>,
имеют вид
/?."."? = 0, (45.11)
з
"°">0; ^^<0, (45.12)
/. к - I
где -j, ;а -- произвольные числа.
СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ И КООРДИНАТЫ
209
Эти уравнения и выражают (с той точностью, с которой справедлива обычная
