Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Фок В.А. -> "Теория пространства, времени и тяготения" -> 70

Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.

Фок В.А. Теория пространства, времени и тяготения — М.: Технико-теоретическая литература, 1956. — 504 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyaprostranstvavremeniityagoteniya1955.djvu
Предыдущая << 1 .. 64 65 66 67 68 69 < 70 > 71 72 73 74 75 76 .. 167 >> Следующая

заданные начальную и конечную точки (необязательно бесконечно близких).
Отсюда следует, что в любой односвязной области величины cpv представляют
однозначные функции точки, которые определяются их значениями в одной
какой-нибудь (начальной) точке.
В силу дифференциальных уравнений (42.16) мы имеем
так как величины l'*!.., симметричны относительно своих нижних значков.
Отсюда следует, что выражение
представляет полный дифференциал. Интегрируя его и определяя постоянную
из заданного значения "р в начальной точке, мы закончим определение
функции ср.
Мы доказали, что необходимым и достаточным условием существования решения
уравнений (42.08) является равенство нулю выра-
(42.25)
и, следовательно,
(42.26)
d<? = ср., dx,
(42.28)
§ 43] тензон кривизны 195
жения (42.13). При этом функция <р определяется, с точностью до
аддитивной постоянной, значениями ее частных производных по координатам в
одной точке.
Если даны два решения, <р и tЬ, уравнений (42.08) (которые могут и
совпадать), то выражение
'Ы* = <"•*"
остается, в силу этих уравнений, постоянным. Для доказательства
достаточно составить ковариантную производную от скаляра (42.29) и
убедиться, что она равна нулю. [Напомним, что уравнение (42.16) как раз и
выражает равенство нулю ковариантной производной от <pj.
Обозначим через я', x'v я', я' четыре решения уравнений (42.08),
выбранные так, чтобы в начальной точке было
дх' дх';.
02.30)
(по а не суммируется!). Тогда равенство (42.30) будет иметь место и при
всех значениях координат. Отсюда чисто алгебраическим путем получаем
<42'30
4 = 0 Р
т. е. представление gap в виде (35.15), а следовательно, и приведение ds2
к виду (35.09).
Таким образом, необходимым и достаточным условием приводимости
квадратичной формы
ds12 - dxa dx$ (42.32)
к виду
ds°- = (dx/ - (dx'/- - (dx/ - (dx/ (42.33)
является равенство нулю выражения дГр дГр
п>Р ____ Iх'1________Hi_l_P(r)pP Г(r) Г? Г40 143
Ац,-да ^ 1 (i-|l то
составленного из скобок Кристоффеля, вычисленных для квадратичной формы
(42.32).
§ 43. Тензор кривизны
Введенное в предыдущем параграфе выражение
Я!
дГр дГр
Р - Hi Hi р(r) рР р(r) рР С43 011
ц, ia - Ijivlaa J-iiaiov pto.ui;
играет большую роль в общем тензорном анализе и в теории тяготения.
Поэтому мы должны подробно исследовать его свойства.
1.4*
196 ОБЩИЙ ТКИЗОРНиЙ АНАЛИЗ [гл. III
Докажем прежде всего, что это выражение есть тензор. Доказательство можно
провести различными способами. Наиболее непосредственно этот результат
может быть получен путем дифференцирования уравнения
д'х' " дх' дх' дх[
("-О2)
выражающего, согласно (42.04), закон преобразования скобок Кристоффеля.
Результат дифференцирования (43.02) по хх может быть записан в виде
дЪх'° I (Г)/ (дх'а д%х>% I дх* ^ 1 дх'л д*х* \
\ дхх дх{1. дх., ' дх" дх, дх} 1 дх., дхх дх,х )
= (д1к + Г'
V дхх ^lr,l*)dxf
( 6 (ГР' I л* V гг? лЛ дх'" дХ? дХ
дх, дх,. дх.
дх,.
т / с Л ох,, ах,
(43.03)
Здесь левая часть симметрична относительно значков к, р,, v;
следовательно, должна быть симметрична и правая часть. Переставляя в
правой части значки X и v и приравнивая результат перестановки значению
правой части в первоначальном виде, мы получим формулу, которую, при
использовании обозначения (43.01), можно написать в виде
. дх" дх" дхК дх'
R* Л ~дГ9 - ^ Ж,. Ш~, * (43.04)
Эта формула и выражает тот факт, что /??, -,х представляет тензор
четвертого ранга, ковариантный относительно значков ц, м, к и
контравариантный относительно значка р. Тензор этот называется тензором
кривизны.
При помощи тензора кривизны можно выразить изменение вектора при
параллельном переносе вдоль бесконечно малого замкнутого контура. Пусть
значение вектора Ар в начальной точке есть (Др)0. При переносе его в
бесконечно близкую точку значения его составляющих будут равны
\ - (А,)о + (ГаР)0(Л)о(** - (43.05)
с точностью до величин второго порядка малости *) относительно смещений
хЛ - л?. Очевидно, что изменения Д.4^ вектора после обхода по бесконечно
малому контуру будут по' крайней мере вто-
*) Эти величины второго порядка уже будут зависеть от вида кривой,
по которой производится смещение (вектор As не есть функция точки).
ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ
197
рого порядка малости относительно наибольших смещений. Эти изменения
выражаются криволинейным интегралом
взятым по рассматриваемому контуру. В случае бесконечно малого контура
можно заменить под интегралом величину А? выражением (43.05), а величину
Г?.,- выражением
Подставляя (43.05) и (43.07) в (43.06) и учитывая, что интеграл по
замкнутому контуру от полного дифференциала равен нулю, мы получим
можно толковать как проекции охватываемой контуром площадки на
координатные "плоскости". Они представляют, как легко видеть,
контравариантный антисимметричный тензор. Пользуясь антисимметрией
тензора Qri, можно написать формулу (43.08) в виде
(относящийся к начальной точке значок 0 нами опущен).
Путем аналогичных рассуждений для изменения контравариантных составляющих
Предыдущая << 1 .. 64 65 66 67 68 69 < 70 > 71 72 73 74 75 76 .. 167 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed