Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
Для преобразования (42.06) будет
(?:)=*• <42-°7)
Поэтому значения в данной точке составляющих любого тензора будут
одинаковы в штрихованной и в нештрихованной координатной системе. В
частности, не изменятся значения фундаментального тензора, тогда как все
первые производные от него обратятся в данной точке в нуль. Этим можно
пользоваться для упрощения вычислений с тензорами. В самом деле, если
относительно некоторого выражения известно, что
оно есть тензор и что оно обращается в нуль при условии = О,
то оно будет равно нулю и без этого условия.
Можно доказать, что надлежащим выбором координатной системы можно
обратить в нуль производные от g не только в данной точке, но и вдоль
заданной линии [14J.
192
ОБЩИЙ ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ
[гл. III
Координатная система, в которой, для данной точки, производные от g
обращаются в нуль, называется локально геодезической. Это название
оправдывается тем, что в указанной системе отсчета уравнения
геодезической линии сводятся в данной точке к равенству нулю вторых
производных от координат по параметру р (вблизи этой точки вторые
производные будут величинами первого порядка малости). Поэтому координаты
будут там, с точностью до членов третьего порядка, линейными функциями от
параметра.
Поставим вопрос: при каких условиях существует координатная система (х0,
х'ь х2, х3), в которой скобки Кристоффеля равны нулю не только в данной
точке или вдоль некоторой линии, но и в некоторой конечной области?
Если такая координатная система существует, то должно существовать
решение уравнений
affc-Р'-Д = 0' <42-08>
так как им удовлетворяют функции
(r) = х'0; (r) - х[\ <в - х'ъ (r) = х'%. (42.09)
Для совместности уравнений (42.08) очевидно необходимо, чтобы вычисляемые
из различных уравнений этой системы выражения для третьих производных
между собой совпадали. Мы имеем
д ( да? \ д /рР )
дха дх,) дха \ дх9) 'I
д ( Щ \ д /гР д*\ \ ^Z-W)
дх., дха) дх., \ v''1 dxj' j
Ввиду равенства левых частей правые части должны быть равны. Приравнивая
их, производя дифференцирование и выражая вторые
производные через первые, получаем
(r)-^+гг-к*-г-к')$=0' <42Л"
// f г
Эти равенства должны иметь место при (r) = х0; (r) - Хи (r) = (r) - х3.
Так как определитель
р<4,44*;>. (4212)
О *1, *,) v '
не равен нулю, то должны равняться нулю все коэффициенты при в (42.11),
т. е. все выражения
§ 42] ЗАКОН ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СКОВОК КРИСТОФФЕЛЯ 193
Докажем, что условия
= 0 (42.14)
являются не только необходимыми, но и достаточными для того, чтобы
система уравнений (42.08) имела решение. Для этого положим
* = <42-'5>
и напишем систему уравнений (42.08) в виде
5% = rS,V (".'6)
Пусть значения <р, заданы в некоторой точке с координатами х°. Чтобы
получить их для произвольной точки ха, соединим обе точки какой-нибудь
кривой
*. = 5"(/>), (42.17)
где р-параметр, и будем рассматривать <sv (а также Г^) как функции от р.
Для определения в., мы получим систему обыкновенных уравнений
2^ = ГМЧ. (42.18)
где точка означает производную по параметру р.
Эта система однозначно определяет значения <р., в конечной
точке
кривой. Остается показать, что получаемые таким путем значения
<pv
не зависят от вида кривой, соединяющей начальную и конечную точки. Для
этого рассмотрим между теми же двумя точками бесконечно близкую кривую
*" = ?>)+(42.19)
где 56" - бесконечно малый вектор, который обращается в нуль в начальной
и в конечной точке. Значения <fv на измененной кривой обозначим через
Уравнения, определяющие "v-f-2cp., будут, очевидно, иметь вид ^ (?,+
2?.,) = (Г?" + ^2 (^4- 8*0 (<рр + 8"рр). (42.20)
Вычитая из них (42.18) и отбрасывая бесконечно малые высших порядков,
получим
j дГр .
^(8?'<)= + (42.21)
Используя еще раз (42.18) и вводя обозначение (42.13), мы можем эти
уравнения привести к виду
^ (S<P,- П,Тр8Е') - (S?p -Г;?а8Г). (42.22)
13 -SS5- В. А. Фок
194
ОПЦИЙ ТГПЗОРПЫЙ АНАЛИЗ
[гл. III
Положим для краткости
т)., - Зср,-
При условии (42.14) уравнения (42.22) напишутся:
(42.23)
(42.24)
Таким образом, уравнения для т)., имеют тот же вид, как уравнения (42.18)
для ср.,. (Те и другие представляют уравнения параллельного переноса
вектора вдоль рассматриваемой кривой.) Так же как и ср." величины т),
однозначно определяются из начальных условий. Но начальные условия для
величин т).,- нулевые. В самом деле, координаты начальной точки
фиксированы; следовательно, в ней8;" = 0. Кроме того, в начальной точке
фиксированы значения <р,, следовательно, в ней также и 8ср,, = 0. Тем
самым в начальной точке Yj, = 0. Но при таких начальных условиях будет
вдоль всей кривой
Рассматривая теперь конечную точку кривой, координаты которой также
фиксированы, мы будем иметь для нее 8?" = 0 и, вследствие
(42.26), 8ср,, = 0. Но это значит, что функция ср., приходит в конечную
точку с одним и тем же значением, как по первоначальной, так и по
измененной бесконечно близкой кривой. Деформируя кривую непрерывным
образом, мы получим тот же результат для любых двух кривых, соединяющих
