Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Фок В.А. -> "Теория пространства, времени и тяготения" -> 72

Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.

Фок В.А. Теория пространства, времени и тяготения — М.: Технико-теоретическая литература, 1956. — 504 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyaprostranstvavremeniityagoteniya1955.djvu
Предыдущая << 1 .. 66 67 68 69 70 71 < 72 > 73 74 75 76 77 78 .. 167 >> Следующая

первых трех свойств, достаточно составить сумму уравнения (44.11) и трех
других уравнений, получаемых из (44.11) круговой перестановкой значков
(а, ч, а, ?). Если учесть свойства антисимметрии 1) и 2), то из 12 членов
этой суммы 8 попарно сократятся, а остальные 4 дадут
- 2/?^+ 2/?,^* = 0, (44.13)
что отличается от (44.12) лишь обозначением значков.
Подсчитаем число независимых компонент тензора кривизны, причем сделаем
это в предположении, что каждый значок принимает я значений (фактически я
= 4). Очевидно, что все четыре значка не могут быть одинаковыми. Отличные
от нуля компоненты с двумя разными значками приводятся к типу /?"<), "р.
Их столько, сколько
пар неодинаковых значков, т. е. -я(я-1). Далее, если дана тройка разных
чисел а, [3, f [а таких троек -I я (я - 1)(я- 2)], то из нее
можно составить отличные от нуля компоненты "т; /?^, Ri*,i?<
r которых повторяется либо первое, либо второе, либо третье из чисел a,
j3, f. Число таких компонент будет равно числу троек,
умноженному на 3, т. е. равно уЛ(я-1)(л - 2). Наконец, существует (я-
1)(я-2 )(я-¦ 3) комбинаций четырех различных
чисел а, |3, f, S. Для каждой такой комбинации можно составить компоненты
R^.-fl; pv; R?,p, тогда как все остальные сочетания значков приводятся к
этим. Но эти три компоненты не являются независимыми, так как они связаны
условием циклической симметрии; независимыми будут только две из них.
Следовательно, число независимых компонент с четырьмя различными значками
равно удвоенному
числу четверок разных чисел, т. е. равно ^я (я-1)(я -2)(я - 3).
Полное количество независимых компонент будет, таким образом, равно
Y п (л - 1) + ~ я (л - 1) (я - 2) -f- jlj я (я - 1) (я - 2) (я - 3) -
= 1ла(я9- 1). (44.14)
202
ОБЩИЙ ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ
[ГЛ. Ill
В интересующем нас случае п - 4 это число равно
6+ 12+2 = 20. (44.15)
Заметим, что в трехмернэм пространстве {п = 3) число независимых
компонент тензора кривизны равно 6, т. е. числу компонент симметричного
тензора второго ранга. Действительно, для я=3 тензор кривизны может быть
выражен через симметричный тензор второго ранга. (См. Добавление Д).
Наконец, тензор кривизны двухмерной поверхности (п = 2) имеет только одну
компоненту - гауссову кривизну.
Напомним, что в § 31 мы уже встречались с величинами, обладающими теми же
свойствами симметрии, как ковариантный тензор кривизны, причем мы
отметили там связь этих величин с симметричным тензором Круткова.
Мы изучили свойства ковариантного тензора кривизны. Смешанный тензор
кривизны обладает аналогичными свойствами
/&р. = -л|111Я, (44.16)
/?;"? + Rl, + Rl. у* = о, (44.17)
которые соответствуют (44.10) и (44.11). Что касается свойства,
соответствующего (44.09), то оно записывается более сложным образом, а
именно:
g.;g-vRl,? = - Rl,* (44.18)
(поднятие первого нижнего и опускание верхнего значка меняют знак
компоненты). Это свойство легко вывести независимо от (44.09) из
сопоставления (43.10) с (43.11) или (43.16) с (43.17), или же, наконец,
из равенства
(V"VP -VpV")^, = Rl *gf4 + Rl, *gev. =* 0, (44.19)
вытекающего из общей формулы (43.21).
Наряду с рассмотренными выше алгебраическими соотношениями, тензор
кривизны удовлетворяет дифференциальным соотношениям, которые могут быть
написаны в виде
+ ар + 4\>.R i\, ар + +/+., аР = 0 (44.20)
и носят название тождеств Бианки. Чтобы проверить их, мы введем локально-
геодезическую координатную систему, в которой тензориаль-ные производные
совпадают с обыкновенными. Вычисления облегчаются тем, что в выражении
(44.08) для /+,, "р члены, не содержащие вторых производных, квадратичны
относительно , так что не только сами эти члены, но и их первые
производные обращаются в локально геодезической системе в нуль. В этой
системе левая часть (44.20)
§ 44] ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ТЕНЗОРА КРИВИЗНЫ 203
равна
R^, "Р + Щ R;l, R^. *9 =
- 1 (_Ъ*_ _1_ d3gw _i_ dHgl" _i_ I
~~ 2 \<?-а:х дхР дх* ' dx,j_ дх" <Эа^ ' (Зад <Эа^ <?А:а '
_|---^_?pf____j____d*g,p \_______1. ^ 44
' дх^дххдхр С дху. дх,: дх") ' ' '
г те многоточием обозначены такие же члены, но с переставленными значками
а и р. Но выражение в скобках само симметрично относительно а и |3, так
что вторая скобка равна первой и их разность обращается в нуль. Тем самым
доказано, что равенство (44.20) выполняется в локально-геодезической
координатной системе, а ввиду тензорного характера этого равенства оно
справедливо и вообще.
Из тензора кривизны четвертого ранга можно составить, путем
свертывания по двум значкам, тензор второго ранга. Свертывание по
двум первым или по двум последним значкам дает, очевидно, нуль,
свертывание же по остальным парам значков дает, с точностью до знака,
один и тот же результат. Получаемый таким путем тензор
Rv* = Pv = Rl p, (44.22)
носит название тензора кривизны второго ранга или тензора Римана. Легко
видеть, что тензор Римана будет симметричным. В самом деле, используя
(44.09), (44.10) и (44.12), будем иметь
pv = |" = Л,Р. "и = g*R-", Ри. (44.23)
Предыдущая << 1 .. 66 67 68 69 70 71 < 72 > 73 74 75 76 77 78 .. 167 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed