Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
V/>4 = 7pV-, (47.02)
t^X + 7/V^O. (47.03)
Здесь чта есть ковариантная компонента вектора ускорения, контра-
вариантные компоненты которого равны
чеР = м'У,,ма. (47.04)
Инвариантные плотности р.* и р* удовлетворяют уравнениям
V"([iV) = 0, (47.05)
V. (?*"*) = 0, (47.06)
из которых второе есть следствие (47.02).
Нам надлежит составить такой интеграл действия, чтобы его
вариация по входящим в него функциям давала написанные выше уравнения.
Мы можем облегчить себе задачу введением вспомогательных функций,
выбранных так, чтобы некоторые из уравнений выполнялись тождественно;
тогда вариация должна дать остальные уравнения.
§ 47] ВАРИАЦИОННОЕ НАЧАЛО ДЛЯ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА - ЛОРЕНЦА 215
С этой целью мы введем потенциалы и перемещения частиц среды и через эти
функции выразим остальные.
Полагая
<М" дА,
^' дх,, дх.
(47-07)
мы тождественно удовлетворим уравнениям (47.01). Потенциалы Ач мы и будем
рассматривать как функции, подлежащие вариации.
Для описания движения среды мы введем переменные Лагранжа av а.2, д3 и
ай~ р, где av д2, д3 представляют, например, начальные координаты частицы
среды, а р-параметр, имеющий характер времени. Вариации будут подлежать
функции
*"=/"(/>. аи д2, Да), (47.08)
которые дают, при постоянных ах, д2, д3 и переменном р, движение данной
частицы жидкости. Вариации этих функций (т. е. вариации перемещений) мы
будем называть смещениями и обозначать через
^ = oxa - bfa(p, av а.2> Да)- (47.09)
Такое обозначение оправдывается тем, что эти вариации представляют
бесконечно малый контравариантный вектор. Величины мы
будем, вообще говоря, рассматривать, как функции не от лагранже-вых
переменных (р, av а2, д3), а от координат (д:0, хх, х2, ха), связанных с
лагранжевыми переменными соотношениями (47.08).
Составляющие четырехмерной скорости выразятся через лагран-жевы
переменные по формуле
Wk' (47Л0)
причем соотношение
иаиа = с* (47.11)
будет удовлетворено тождественно. В формуле (47.10) величины gy, имеют
аргументами ха - fa, так что при варьировании /" нужно учитывать также и
изменение g .
Введение лагранжевых переменных позволяет тождественно удовлетворить
уравнению неразрывности (47.05) выражениями (47.10) для скорости и
выражением для инвариантной плотности, определяемым из равенства
V-'V-g •I=F(a1, д2, (47.12)
где / есть абсолютное значение якобиана
j D (хо, Xit x%t л:3) (Л7 1
7- D(p, а^Г^Г' (47ЛЗ)
Обозначим через Ьхиа и Sjjx* вариации, соответствующие изменению вида
функций /а. Величина да + 81иЯ есть скорость измененного
216 ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ В ПРОИЗВОЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ [гл. IV
движения, взятая в точке хл + Скорость же измененного движения, взятая в
точке х^, будет
иа-{-8иа = - (47.14)
Таким образом, та вариация ом", которая соответствует изменению вида поля
скоростей, будет равна
Sua = o1ua - - (47.15)
дХа
Заметим, что вариация есть разность значений двух векторов, взятых в
разных точках; поэтому она не будет вектором. Напротив того, вариация ои"
есть разность значений двух векторов для одной и той же точки. Поэтому
Ьиа есть вектор. Аналогично можно ввести вариации 81а* и Six* для
инвариантной плотности. Они будут связаны соотношением
V = (47-16)
Для вычисления вариации otp.* нам нужно найти вариацию 8Х от обеих частей
равенства (47.12). Мы имеем
др др
1 /1 dgu-i дА д/, дА д?\
Г ди а/p^W? + g:i3 ? др)¦ (47Л7)
др др
Подставляя сюда
§ = (47Л8)
и пользуясь выражением (47.10) для скоростей, будем иметь
" (лг щгж
°ЛУ g^-жг
др др г
У + (47Л9)
др др с* \ 2 дха ' ~ ь'^дх.
Применяя формулу
U ta -- ___
дх.
V-=TT+rV'P (47-20>
для ковариантной производной, мы можем предыдущее выражение написать в
виде
Af \ Г Af
откуда
Затем мы имеем и, следовательно, или
§ 47] ВАРИАЦИОННОЕ НАЧАЛО ДЛЯ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА - ЛОРЕНЦА 217
Вариация правой части (47.12) будет пропорциональна этому выражению.
Далее, варьированное значение якобиана / будет равно
j j g j _ D (хо ~Ь xi ~Ь S1" хъ ~1~ х% Н~ ?3) _
~1_ 1 - D(p, аь д2, а3) ~
=ро^|0'.г)'/=(1+?-)'¦ (4722)
V = (47-23)
>,(У=В=д1?~*Р (47-24)
\(V~gi}=4<УД4'1/ <47-25>
к (V~gi) = V.f • /=i/. (47.26)
Используя формулы (47.21) и (47.26), мы можем написать вариацию 8j
от логарифма обеих частей (47.12) в виде
^ + (47.27)
откуда
V = - № + ? (47.28) и по формуле (47.16)
V = - V, (р.*;") + -?¦ ii'ipy*. (47.29)
При вычислении вариации 8t от выражения (47.10) для и* мы можем
воспользоваться результатом (47.21). Вычисление дает
3lW* = Ш; ~ и* ' ' (47.30)
и по формуле (47.15)
-Ц-&--У "¦ <"•""
Последнее выражение можно написать в виде
8м" = ивЧа\л - ------------ u^u^u^V},а, (47.32)
откуда ясно, что 8м" есть вектор. При этом будет
и,8и" = 0 (47.33)
в согласии с (47.11).
218 ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ В ПРОИЗВОЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ [гл. IV
Так как плотность заряда р* удовлетворяет такому же уравнению
неразрывности (47.06), как плотность массы р.*, то ее вариация будет
иметь вид, аналогичный (47.29), а именно:
? = - V,(PV) + (47.34)
Комбинируя формулы (47.32) и (47.34) и пользуясь (47.06), получаем
