Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
1 . - [Y-g Fн-'') = sP = 4и *uF, (46.14)
V-gdxA
причем из них вытекает закон сохранения заряда в форме
V^ = -7L=i-(/=isi') = 0. (46.15)
У- gdx,,.
Чтобы написать общековариантные уравнения движения заряженной
материальной точки во внешнем поле, достаточно найти выражения для
вектора ускорения. Если т есть собственное время, то четырехмерная
скорость равна
(46Л6)
причем
g.^uFu'> = с2. (46.17)
*) Т. е. антисимметричный во всех своих значках. 14*
212 ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ В ПРОИЗВОЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ |ГЛ. IV
Вектор ускорения W будет совпадать с левой частью выражения (38.34), т.
е. он будет равен
d2хч " dx" dxa
e, = -3?+ri^- (46Л§)
В самом деле, это выражение представляет вектор и переходит в галилеевых
координатах в обычную формулу. Чго касается выражения для лоренцовой
силы, то оно уже написано нами в § 25
в ковариантной форме. Таким образом, уравнения движения будут
иметь вид
~ (46.19)
где
% = .gV'/a'v (46.20)
ковариантные составляющие ускорения.
В § 33 мы рассматривали тензор энергии электромагнитного поля
и представили плотность лоренцовой силы в виде его
расходимости
(взятой с обратным знаком). Соответствующие формулы легко могут быть
написаны в общековариантной форме.
Обобщением формулы (33.16) для тензора энергии электромагнитного поля
являются выражения
и,, = - ±g*F^F* + JL g^F'9, (46.21)
i g^F* + • (46.22)
Используя уравнения Максвелла - Лоренца (46.08) и (46.14), мы получим
после некоторых вычислений
V,U^ = -^g^Fns\ (46.23)
Справа здесь стоит взятая с обратным знаком плотность лоренцовой силы.
Общекозариантные уравнения движения для сплошного распределения зарядов
напишутся, аналогично (33.09), в виде
[Ле"Р = - -1 gt°Feasa, (46.24)
где и* есть инвариантная плотность массы покоя, удовлетворяющая уравнению
V. (!*V) ^ -±= ± (/=]^V) = 0. (46.25)
V-gdxa
Что касается ускорения <к"р, то оно, согласно (46.18), может быть
написано в виде
we = (46.26)
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
213
или
(tm)p = "e5F + 1 ""'""• (46-27)
а
Последнее выражение равно
1wр = uaVauf, (46.28)
где V0mP - ковариантная производная.
Если мы, аналогично (32.01), введем тензор массы заряженных частиц
0Р° = ^*и(и° (46.29)
и воспользуемся законом сохранения массы покоя (46.25), то мы можем
написать
иЛе"Р = c'2V"0p(I. (46.30)
В уравнениях движения (46.24) мы можем левую часть выразить в виде
(46.30), а для правой воспользоваться выражением (46.23). Мы получим
тогда
VJe° = 0, (46.31)
где
с2 Т?" = р-'мРм" -{- t/P" (46.32)
есть умноженный на с2 тензор массы системы, состоящей из частиц и поля.
Подобным же образом мы можем написать общековариантные уравнения движения
сплошной среды типа идеальной жидкости. Обозначая через р.* инвариантную
плотность массы покоя (включая ту ее часть, которая меняется вследствие
изменения энергии сжатия), мы получим, аналогично (32.17), для полного
тензора энергии (т. е. для умноженного на с2 тензора массы) выражение:
с27>* = (р* 4-мРа" - pge°, (46.33)
которое также удовлетворяет закону сохранения (46.31). Заметим, что
равенство (46.25) теперь выполняться не будет, а будет выполняться лишь
аналогичное равенство для величины р*, связанной с ч.*-соотношением
(32.25) и представляющей инвариантную плотность сохраняющейся части массы
покоя.
В § 31 мы установили общее правило, согласно которому тензор массы должен
быть функцией состояния системы и не может зависеть явным образом от
координат. Это правило относилось к галилеевым координатам, в которых
величины gv-'1 имеют заданные постоянные значения. Но мы можем сохранить
это правило и для произвольных координат, если условимся включать в число
функций состояния также и величины g!MI (и, если понадобится, их первые
214 ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ В ПРОИЗВОЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ [гл. IV
производные). Во всех рассмотренных здесь примерах тензор массы
подчиняется нашему обобщенному правилу. Так, в формуле (46.33) функциями
состояния (которые, впрочем, не все независимы) являются: составляющие
скорости м?, давление р, инвариантная плотность [х* и составляющие
фундаментального тензора g?°. В тензоре энергии электромагнитного поля
функциями состояния являются составляющие поля и величины
§ 47. Вариационное начало для системы уравнений
Максвелла - Лоренца
Многие уравнения математической физики могут быть формулированы как
условия экстремума некоторого интеграла, который носит название интеграла
действия. Один из простейших примеров такой формулировки представляют
уравнения геодезической линии, рассмотренные в § 38. Мы разберем теперь
более сложный пример системы уравнений Максвелла - Лоренца, описывающей
движение сплошной заряженной среды, элементы которой взаимодействуют
через посредство электромагнитного поля.
Система уравнений Максвелла - Лоренца для компонент поля Т* , компонент
четырехмерной скорости среды и'1, инвариантной плотности массы покоя
р.* и инвариантной плотности заряда г* имеет вид:
"Э/у, dFXv. dF,x
d^T+a^+d^- °' (47-01)
4-г
