Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
вектора:
дхп дх\ дх' дх.,
" ^(Д) ---------• -----* ^(3) - -1 (4Q 14^
•я- дх/ 'V- дх/ Iх дх/ мх дх^ • <Дулг>
(Эти величины будут векторами по отношению к нештрихованным
координатам х0, xL, х.2, х3; галилеевы же координаты здесь рас-
сматриваются как скаляры). Каждый из четырех векторов (49.14)
удовлетворяет, в силу (42.16), уравнениям
Vv/ = 0 (<х = 0, 1, 2, 3), (49.15)
а следовательно, и уравнениям (49.08).
Далее, мы можем ввести шесть векторов
, дх! , дх'
^ = х>-Щ.~х9д7/ (49Л6>
из которых каждый удовлетворяет уравнениям
0> (49Л7)
т. е. уравнениям (49.08).
Подставляя в выражение (49.07) векторы (49.14), получим, после умножения
на с, постоянные интегралы
Г ____
Р'° = С J ^0-dr^~gdXl dX* dX3' (49 •1 8)
а подставляя в то же выражение векторы (49.16), получим постоянные
интегралы
м'^
= cj T*°(xlj^- х'-^) V- gdxtdx2dxa. (49.19)
Из сравнения этих выражений с соответстзуюшими выражениями в галилеевых
координатах [формулы (31.02), (31.03), а также (31.08),
ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМА ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ
229
(31.09)] нетрудно установить физический смысл этих интегралов. Величина
Р'° есть деленная на с энергия (или умноженная на с масса) системы, а
величины Рп (г = 1, 2, 3) представляют количество движения системы.
Далее, величины М'г0 суть интегралы движения центра инерции, а величины
М'гк - интегралы момента количества движения системы.
Составляющие Р/а постоянного вектора и составляющие М'^ постоянного
антисимметричного тензора относятся к галилеевой координатной системе. Но
постоянному вектору или тензору в галилеевой системе соответствует в
произвольной координатной системе свободный вектор или тензор, т. е.
такой, все ковариантные производные от которого равны нулю. Таким
образом, интегралам движения мы можем сопоставить в произвольной
координатной системе свободный вектор
3 -ч t
Sox
'.Р~-? (49.20)
?Х=0
и свободный антисимметричный тензор
Я . = (49.21)
а, р=0
Эти величины будут функциями от координат и времени, удовлетворяющими
уравнениям
VaP" = 0; V^" = 0. (49.22)
Значения этих функций в любой точке определяются значениями их в какой-
нибудь одной точке. Поэтому число постоянных, от которых зависят функции
Р,( и УИа" будет равно числу этих функций, т. е. будет равно 10. Роль
этих постоянных и играют константы движения Р'а и М'аК
В приведенных рассуждениях роль галилеевых координат была чисто
вспомогательная и заключалась в том, что через них гыража-лись векторы
<?а, соответствующие различным интегралам уравнений (49.08). Разумеется,
гораздо проще было бы вести все рассуждения прямо в галилеевых
координатах (как мы это делали в главе II). Но цель наших более сложных
рассуждений как раз и состояла в том, чтобы показать, что также и
интегральная форма законов сохранения может быть получена непосредственно
из уравнений, написанных в произвольных координатах.
ГЛАВА V
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ТЯГОТЕНИЯ
§ 50. Обобщенный закон Галилея
Наиболее существенная особенность поля тяготения, отличающая его от всех
других известных в физике полей, проявляется в характере его влияния на
движение свободного тела (материальной точки). При одинаковых начальных
условиях (положении и скорости) все свободные тела, независимо от их
массы, движутся в поле тяготения одинаковым образом. Этот фундаментальный
закон можно рассматривать, как обобщение закона Галилея, согласно
которому все тела падают при отсутствии сопротивления с одинаковой
скоростью.
Здесь уместно напомнить определения массы инертной и массы весомой (или
тяготеющей). Инертная масса есть мера способности тела сопротивляться
ускорению: при заданной силе ускорение обратно пропорционально инертной
массе. Весомая или тяготеющая масса есть мера способности тела создавать
поле тяготения и испытывать воздействие этого поля; в заданном поле
тяготения сила, испытываемая телом, пропорциональна его весомой массе.
При помощи этих определений приведенный выше обобщенный закон Галилея
может быть формулирован, как закон равенства массы инертной и массы
тяготеющей.
По Ньютону, поле тяготения характеризуется потенциалом тяготения U (х, у,
z). Потенциал тяготения, порождаемый отдельной сферически симметричной
массой М, в точках вне этой массы равен
и = ?у, (50.01)
где г есть расстояние от центра массы. Величина у есть ньютонова
постоянная тяготения, численное значение которой в системе (см- г- сек)
равно
Т = 15 ООО 000 ' (50.02)
Таким образом, размерность U совпадает с размерностью квадрата скорости.
Заметим здесь же, что во всех встречающихся в природе
ОБОБЩЕННЫЙ ЗАКОН ГАЛИЛЕЯ
231
случаях, даже на поверхности Солнца и сверхплотных звезд, величина U
весьма мала по сравнению с квадратом скорости света
U<С с2. (50.03)
В общем случае произвольного распределения масс порождаемый ими ньютонов
потенциал U удоз;:етзоряет уравнению Пуассона
Ш = - 4гсур, (50.04)
где р есть плотность масс. Ньютонов потенциал U вполне определяется
уравнением Пуассона вместе с условиями непрерывности и предельными
