Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Фок В.А. -> "Теория пространства, времени и тяготения" -> 73

Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.

Фок В.А. Теория пространства, времени и тяготения — М.: Технико-теоретическая литература, 1956. — 504 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyaprostranstvavremeniityagoteniya1955.djvu
Предыдущая << 1 .. 67 68 69 70 71 72 < 73 > 74 75 76 77 78 79 .. 167 >> Следующая

ИЛИ
Я*, = R,P, (44.24)
Наряду с ковариантным тензором Римана рассматриваются также смешанный
тензор
= (44.25)
и контравариантный тензор
= (44.26)
Дальнейшее свертывание по значкам р,, ч приводит к скаляру
R=R: = g"'RP, = (44.27)
который носит название скаляра кривизны.
Вычислим расходимость тензора Римана
= Vx/?v = g-';Vx/?p.,. (44.28)
204 ОБЩИЙ /ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ [гл. Ill
Вводя вместо /?ц, выражение (44.22), будем иметь
П = (44.29)
Применим к входящей сюда тензориальной производной тождества Бианки,
написанные в форме
Т>./?рт, pv -f- Vp/?|Uti v). -f- V"/?^. хз = 0, (44.30)
получаемой из (44.20) на основании (44.12). Мы получим
У, = -Д vx - xp. (44.31)
Это соотношение может быть переписано в виде
К, = - Y.,+ V4R. (44.32)
В самом деле, если в первой сумме формулы (44.31) переставить
(переименовать) значки суммирования л с J3 и и с а, то она приведется к
выражению (44.29); в последнем же члене этой формулы можно произзесги
суммирование до ковариантного дифференцирования, и тогда этот член
приводится к V,,/?. Таким образом,
r.=4-V,R = Ifi, (44.33)
так как тензориальная производная от скаляра сводится к обыкновенной
производной. Из сопоставления (44.28) с (44.33) следует, что расходимость
тензора
0^, = Ярт - ^ gV 'R (44•34)
тождественно равна нулю. Тензор 0^, называется поэтому консервативным
тензором. Так как он играет большую роль в теории
тяготения Эйнштейна, то его называют также тензором Эйнштейна.
Дальнейшие преобразования тензора кривизны мы отложим до главы V, посвя
ценной теории тяготения.
ГЛАВА IV
ФОРМУЛИРОВКА ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ В ПРОИЗВОЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ
§ 45. Свойства пространства-времени и координаты
Форма уравнений, определяющих ход того или иного физического процесса в
пространстве и времени, зависит, кроме специфических особенностей данного
процесса, еще от двух обстоятельств: от свойств пространства-времени и от
выбора координат, в которых описывается данный процесс. Свойства
пространства-времени являются объективными, определяемыми самой природой
и не зависящими от нашего произвола. Напротив того, выбор координат в
самой высокой степени зависит от нашего произвола. Правда, и здесь
произвол не является неограниченным, в том смысле, что существование
некоторых, особо выделенных, координатных систем (галилеевых координат)
возможно только в силу объективных свойств реального пространства-
времени: такие координатные системы не существовали бы, если бы эти
свойства были иными. Однако всегда возможно перейти, путем
математического преобразования, от привилегированной координатной системы
к любой другой; правила такого перехода мы изучали в предыдущей главе.
Чтобы отвлечься от специфических особенностей данного процесса необходимо
рассмотреть такие уравнения, которые являются наиболее общими и наиболее
непосредственно характеризуют свойства пространства-времени. Таким
является уравнение, выражающее закон распространения фронта волны, идущей
с предельной скоростью. Этому закону подчиняется, в первую очередь,
распространение фронта световой (электромагнитной) волны в свободном
пространстве. Однако, как мы уже указывали, закон этот должен
рассматриваться не как специфический закон, относящийся только к свету,
но как общий закон, которому подчиняется распространение всякого рода
возмущений, идущих с предельной скоростью. Уравнение распространения
фронта волны в свободном пространстве характеризует не только свойства
распространяющегося в нем вида материи (например, электромагнитного
поля), но и свойства самого пространства и времени. (Мы
206 ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ В ПРОИЗВОЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ [гл. IV
неоднократно указызати, что и практически измерение больших расстояний
основано на триангуляции и на радиолокации, т. е. на использовании закона
распространения электромагнитных волн.) Тем самым геометрические понятия,
как и понятие времени, теснейшим образом связываются с законом
распространения фронта волны в свободном пространстве.
В галилеевых координатах
х'а- ct\ х^ - х; х'г - у\ х'3 - г (45.01)
закон этот выражается уравнением
/fa ), _ _ (?Y> _
\дхй! Vojcj/ \дх2/ 'дх3/
(45.02)
где и = const есть уравнение движущейся поверхности фронта волны.
Уравнение (45.02) представляет математическое выражение того факта, что
волновая поверхность движется в направлении своей нормали со скоростью
света. Отождествляя нормаль к волновой поверхности с лучом и рассматривая
точку пересечения луча с фронтом волны, мы можем, на основании уравнения
(45.02), утверждать, что эта точка движется по лучу прямолинейно и
равномерно со скоростью света (в галилеевых координатах).
Наряду с распространением фронта волны, мы можем рассмотреть простейший
процесс, в котором осуществляется движение со скоростью, меньшей скорости
света. Это есть свободное движение материальной точки. В форме Гамильтона
- Якоби уравнения движения принимают вид, аналогичный (45.02), а именно:
(&М?)'-(?)Ч5)'='- <"¦<">
где <и пропорционально функции действия. Действительно, полный интеграл
Предыдущая << 1 .. 67 68 69 70 71 72 < 73 > 74 75 76 77 78 79 .. 167 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed