Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
вектора получается формула
Мы уже знаем, что есть тензор; это заключение можно
было бы вывести и на основании формулы (43.10) или (43.11). В самом деле,
есть разность двух векторов, относящихся к одной точке и, следовательно,
представляет собою вектор. С другой стороны, если добавить к
антисимметричному тензору Q41 произвольную симметричную часть, то
уравнение (43.10) не изменится. Таким образом, правая часть (43.10) будет
вектором, каков бы ни был тензор 0м и вектор Af, что возможно только в
том случае, когда есть тензор.
В § 40 мы ввели операцию ковариантного дифференцирования. В общем случае
операции эти не коммутативны: вторая ковариантная
(43.06)
(43.07)
Величины
* dV^ 1 f*
И- = [тГ+Г^ГЧ (Л?)о J- йх'• (43'08)
- xl)dx, = ^- J [(*" - xl)dx, - (х, - xl)dxa\ (43.09)
(43.10)
(43.11)
198
ОБЩИЙ ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ
[ГЛ. Ш
производная от вектора или тензора, взятая сперва по х$, а затем по ха,
не будет равна такой же производной, взятой сперва по дгк, а затем по
дгр. Рассмотрим разность вторых производных от вектора. Мы имеем,
согласно (40.05):
Вычислим V^/l, в локально-геодезической системе координат (в которой
первые производные от Г^у обращаются в нуль для данной точки). Мы имеем
В локально-геодезической системе множитель при А, в правой части не
отличается от выражения для тензора кривизны, которое равно
Поэтому в локально-геодезической системе имеет место равенство
Но обе части этого равенства представляют собою тензор. Поэтому, если
равенство (43.16) справедливо в какой-нибудь одной системе координат, то
оно справедливо и в произвольной системе координат. Таким образом,
выражение (43.16) для разности вторых ковариантных производных от вектора
является общим.
Аналогично выводится формула
для контравариантного вектора.
Использованный здесь прием составления тензорного уравнения в локально-
геодезической координатной системе, с последующим заключением о том, что
оно справедливо и в общем случае, может значительно облегчить выкладки.
Уравнения (43.16) и (43.17) настолько просты, что легко могут быть
получены и без применения этого приема, но в других случаях вносимое им
упрощение существенно.
Рассмотрим, например, выражение для разности вторых ковариантных
производных от тензора произвольного ранга
(43.12)
(43.13)
откуда
(43.14)
(43.16)
(V<*Vp VpVa) /4 ---------- ---
(43.17)
§ 44] основные свойства тензора кривизны 199
Формулу (40.26) для первой производной можно написать в виде
т
г И_____
9 <=1
("39,
j = 1
Составляя, в геодезической системе координат, вторую производную, получим
Г7 Г7 ... ^ /-ГГ^К | ^РР Г/Щ ¦ • • 14
v"v^> = -д^щ ^ + L ud '
ил з
i = 1
i ^ v- V-ipV+i "• v (43-2°)
j=i
Следовательно, разность вторых производных будет, в геодезической
системе, совпадать с выражением
т
(v.vf- v?va) (/$ - - 2 ^№*+1''' "Ht+
г = 1 Р' ' к
(43.21)
А так как обе части этого выражения представляют собою тензоры, то
равенство (43.21) будет справедливо и в произвольной координатной
системе.
§ 44. Основные свойства тензора кривизны
Рассмотоим наряду со смешанным тензором кривизны дГ* dY0,
^•-Р---------------3^- 5з?г + W ~ (44.01)
ковариантный тензор
R^-i, = g,aRl., "р. (44.02)
Согласно этому определению, смешанный тензор получается
из Лцч.сф. поднятием второго ковариантного значка. Поэтому более
подробным обозначением для него было бы
Rl =. /^%f> = g %,, af. (44.03)
200 ОБЩИЙ ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ [ГЛ. III
Заметим, что в старой литературе для ковариантного и для смешанного
тензора приняты обозначения
R^,. сф = <*Р). (44.04)
(ua, а?}, (44.05)
называемые четырехзначковыми символами Римана первого и второго
рода.
Вычисляя по формуле (44.02) ковариантный тензор кривизны, будем иметь
R*4' *9==Щ [!ла' v] ~ [^' v] +
+гЦи, я-^-)-щ(1?". я-$?). <".">
и окончательно:
_ 1 / &g-n . d2g-,? \
р.-", -4 2 \ дх, дх^ ¦ дх., дх, дх^ дх, дх., дх^ )
-Г^КЗ, Я+Ifrfva, р]. (44.07)
Выражая последние два члена через величины Г?-" можно также написать
р - 1 ( dgn | d2jgv<i d2S-4______________d-g** \
ixv, ap 2 ( dx.f, dxp "i- dx, dx, dx, dx, dx, dxp /
-г/Л+(44.08)
Из этого выражения легко вывести следующие свойства симметрии данного
тензора:
1) Антисимметрия в первых двух значках
/гп,,*р = - ЯИ1вр. (44.09)
2) Антисимметрия в последних двух значках
Яц,.р.= -"1Г...Р- (44.10)
3) Циклическая симметрия
4, 4 R'}i, pv -1- Rtf, a = 0. (44.11)
Первые два свойства очевидны. Чтобы проверить последнее, доста-
точно составить левую часть (44.11) в локально-геодезической координатной
системе и убедиться, что 12 вторых производных попарно сокращаются.
Из перечисленных трех свойств вытекает, далее, что первая пара значков
может быть переставлена с последней парой значков (с со-
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ТЕНЗОРА КРИВИЗНЫ
201
хранением их порядка внутри каждой пары):
Ro$, 11ч = Ry.1, "р ¦ (44.12)
Свойство (44.12) непосредственно вытекает из определения (44.08). Чтобы
показать, что оно не является независимым, а представляет следствие
