Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
§ 48] ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП И ТЕНЗОР ЭНЕРГИИ 225
Здесь р* есть инвариантная плотность той части массы покоя, которая при
движении не меняется и удовлетворяет закону сохранения
V,(pV) = 0 (48.29)
(см. § 32). II есть отнесенная к единице массы потенциальная энергия
упругого сжатия жидкости
п= J (48*3°)
о
где р - давление.
Вариацию интеграла 5 легко вычислить, пользуясь найденными выше
выражениями для вариации плотности. На основании формул (47.29), (48.03)
и (48.09), в которых мы пишем теперь р* вместо р.*, мы имеем для полной
вариации
Зр* = - V,(pV) + -? H,^V * + (48.31)
и попрежнему
° уГ~8- - у(48.32)
V-S 2
Полагая
F(p*) = pV3 + p*n, (48.33)
мы будем иметь
35 = 3 J F(r,*) V^g (dx) =
= J [f'' (p*) 3p* + F (p*) Ь-У ] y-g (dx). (48.34)
Подставляя сюда (48.31) и (48.32), мы получим, после интегрирования по
частям:
^ V J [(/-¦ ;.тs'"' + -.Т" ¦ -ДД ], Y~~e Их) Ь
+1 <4835)
где w3 есть ускорение (47.48). Пользуясь вытекающими из (48.30)
и (48.33) формулами
,*Р' - Р=Р; Р*F" dp* = dp, (48 36)
мы можем вместо (48.35) написать
: - у f j -у- у ('.Т -/>)J (Т u'[ о;: ,, V' - (dx)
+ Г(48.37)
15 Зак, а83. В. А. Фок
226 ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ В ПРОИЗВОЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ [гл. IV
Отсюда заключаем, что уравнения движения имеют вид
и что тензор энергии равен
причем расходимость этого тензора равна нулю.
Эти выражения представляют обобщения выражений (32.29) и (32.28) и
приводятся к ним в галилеевых координатах.
В заключение заметим, что математически далеко не всякая система
уравнений выводима из вариационного начала. То обстоятельство, что
основные уравнения математической физики, описывающие поведение
консервативных систем, могут быть получены из вариационного начала,
представляет замечательное их свойство.
§ 49. Интегральная форма законов сохранения в произвольных координатах
Тензор массы 71*4 удовлетворяет, как мы знаем, уравнениям
которые должны выражать законы сохранения энергии и количества движения,
а также закон сохранения момента количества движения и закон движения
центра инерции замкнутой консервативной системы. В развернутом виде
уравнения (49.01) напишутся [см. (41.24)]:
Вследствие того, что в уравнении (49.03) остается член, стоящий вне знака
производных, переход от дифференциальной формы законов сохранения к
интегральной форме не является в произвольных координатах столь
очевидным, каким он был в галилеевых координатах (см. § 31). Поэтому мы
рассмотрим вопрос о существовании интегральной формы законов сохранения
несколько подробнее.
Введем некоторый вектор <рл и проинтегрируем равенство
V47*' = 0,
(49.01)
(49.02)
или, если объединить третий член с первым,
(49.03)
= (49.04)
е у-g дх,
§ 49] ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМА ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ 227
по трехмерному объему, на границах которого величины Т^ исчезают. Мы
получим
j Vч(7'!1Ч?[1) V"-gdxi dx2dx.d = J Y~gdx{ dx2dx.A. (49.05)
Если 7'liv есть тензор массы, то он симметричен и расходимость его равна
нулю. Для такого тензора предыдущее равенство напишется:
JL J Tv\,x V- g dxi dx.2 dx:, =
= j J 7'V'' (V* + Vfv) V- S dx\ dx2dx.A. (49.06)
Величина
/= J* gdx1dx2dxs (49.07)
будет постоянной (т. e. не будет зависеть от координаты х0, имеющей
характер времени), если вектор удовлетворяет уравнениям
V.^+V^^O. (49.08)
Исследуем эти уравнения в общем случае (не предполагая сперва, что тензор
кривизны четвертого ранга равен нулю).
Положим
= TV- (49.09)
В силу (49.08) величины <р будут антисимметричным тензором. Составим от
него ковариантную производную. Используя (49.08), мы можем написать
V,?*, = i (V,v, - №<?.+i (VaV" - V ,Ve) -i (V,V". - VuV.)
' '(49.10)
Применяя формулу (43.16) для разности ковариантных произзодных и
используя свойства симметрии тензора "р, мы получим
(49.11)
Таким образом, уравнения (49.08) могут быть заменены системой (49.09) и
(49.11), которая равносильна системе уравнений в полных дифференциалах.
Можно показать, что эта система будет вполне интегрируема в том случае,
когда
R^, = К ¦ (g.,gv:f - gv,,g-a), (49.12)
где К-постоянная. Пространство, для которого тензор кривизны имеет
выражение (49.12), называется пространством постоянной кривизны (оно
представляет четырехмерное обобщение пространства Лобачевского).
Постоянная К носит название постоянной кривизны.
15*
228 ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ В ПРОИЗВОЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ [гл. IV
Если условия полной интегрируемости выполнены, то значения 10 функций
cs^, <р во всем пространстве определяются их значениями в одной точке,
так что обдее решение системы (49.09),
(49.11) содержит 10 произвольных постоянных.
Нас интересует случай
R^.a? = 0, (49.13)
который получается из (49.12) при К = 0. (Пространство, для которого
Rr,,a.') = 0, называется поэтому пространством нулевой кривизны или
плоским пространством.)
В случае плоского пространства-времени (с которым и имеет дело теория
относительности) мы можем сразу указать 10 интегралов системы (49.03).
Пусть х', х', х', х'- галилеевы координаты. Мы можем ввести четыре
