Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
vfa = va*+v,A, -(41.21)
Раскрывая здесь при помощи (40.09) выражения для тензориальных
производных, мы будем иметь
V"4" " дх^ дх, ~ 2Г?'Л'' +
' д (ГМо)- -5|-(Г?.Л)-4-(Г^Л). (41.22)
~ дх, у дх, ах,,
Аналогично, вторая тензориальная производная от конгравариантного вектора
напишется:
V А? - ^2"4'° г? , рР дА" ра дА? .
>-ЛР - дх^дх, ^11151 дх" +1-'51 дху. дх, + дх, ' (41-^>
Рассмотрим теперь расходимость тензора второго ранга, который будем
писать в контравариантной форме. Согласно (40.10), мы имеем
д7>-' дх.
W = Чт- + + г;.,7>р. (41.24)
Преобразуя при помощи (41.07) второй член, мы можем написать: Vv7Vv =
^^.^_(^^7'H) + r?p7vP. (41.25)
Положив здесь 7V' = gv-'> и зная, что тензориальная производная от
фундаментального тензора равна нулю, мы вновь получаем тождество (41.16).
Если тензор 7>ч антисимметричен, то последний член
§ 411
ПРИМЕРЫ СОСТАВЛЕНИЯ КОВАРИАНТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
189
в формуле (41.25) обращается в нуль. Таким образом, расходимость
антисимметричного тензора сводится, так же как и расходимость вектора, к
сумме производных по координатам. В случае же произвольного тензора
подобное представление невозможно.
Напишем выражение для тензориальной производной от ковариантного тензора
и два других выражения, получаемых из первого круговой перестановкой
значков:
V F -
т a1 av -
V F =
* и/ V<J ---
V F =
<?/у,
дх,
dF.."
.ГР Р ГР Р
pv ''Q |лр
dx,
dF,
¦Fp F -
1 чр* ри
¦ Гр F
1 ОЦ.1 чр
дх.,
-ГР F _________ГР р
L34' pp. Ар.ч' jp
Предположим теперь, что тензор F^., антисимметричен:
F - - F
t i va.
Тогда
dF,
рч
dF.
dF,
dxi
dx,L
чр
(41.26)
(41.27)
(41.28)
тогда как члены вне знаков производных попарно сокращаются.
Антисимметричное относительно всех трех значков выражение
dF,
рч
дР"
dF,
op.
dx"
dx"
dx.,
(41.29)
будет, следовательно, тензором. Этот антисимметричный тензор третьего
ранга называется циклом данного антисимметричного тензора Z7 С подобным
выражением мы уже встречались в § 24.
Цикл данного антисимметричного тензора второго ранга связан с
расходимостью дуального антисимметричного псевдо-тензора. Введем,
согласно (37.67), дуальный псевдо-тензор F°$ по формуле
jpa? _ }_ ^
(41.30)
откуда
Y-gF*>=Fm\ V-gF*>=F*v 1 ,,, _1Л
r * r * * f (41.ol)
V- g F(tm) = F10; V-gFK = F2o', Y-gF12= Fm. J
Введем также, согласно (37.68), дуальный к Fпсевдо-вектор.
± рррччр
g А- ' рч".
(41.32)
190
ОБЩИЙ ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ
[ГЛ. lit
откуда
} (4..М,
V-gF' = Pw V~gF* = F,w; V~gF' = Flx. j
Если тензор F есть цикл Fa,, то мы будем иметь
1 nv=m=f.t (41.34
У- g дх?
* a *• a3
так что псевдо-вектор F есть расходимость псевдо-тензора F .
Тот же результат легко получить и без перехода к численным значениям
значков, если воспользоваться тем, что вычисленная по
общему правилу тензориальная производная от (а также от ?^5) тождественно
равна нулю.
§ 42. Закон преобразования скобок Кристоффеля и локально геодезическая
система координат. Условия приводимости основной квадратичной формы к
постоянным коэффициентам
Тензориальные производные отличаются от обыкновенных производных членами,
содержащими скобки Кристоффеля
("•""
Если в некоторой точке лгр = лгр все скобки Кристоффеля равны нулю, то
выражения для гензориальных и для обыкновенных производных совпадают.
Покажем, что в окрестности каждой точки можно ввести
такую систему координат, чтобы в этой точке все величины обратились в
нуль. Тогда, в силу уравнений (40.14) и (40.16) в этой точке обратятся в
нуль и все производные от фундаментального тензора по координатам.
Установим, прежде всего, закон преобразования скобок Кристоффеля при
переходе от данной системы координат (лг0, хг, х.2, х.л)
г / • 1
к некоторой новой системе координат (лг0, хи х2, -Х-з)- Этот закон можно
было бы вывести непосредственно из определения (42.01)
величин Гсф, пользуясь законом преобразования для фундаментального
тензора. Однако проще рассуждать следующим образом. Мы знаем, что
величины
,4а д<?
ЗАКОН ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СКОБОК КРИСТОФФЕЛЯ
191
представляют тензор. Это значит, что для всякой функции (r) и для любого
преобразования координат имеют место равенства
rg.v-fc:={ f* (42.03)
дху. дх,, V- дх? \ д/ д' "V д | дх,,, дх., '
где (Г'р)' суть скобки Кристоффеля, вычисленные для штрихованной системы
координат. Полагая здесь и = xz, получим
д!х' дх' дх дх',
(42.04)
Эта формула и дает искомый закон преобразования. Наличие члена с второй
производной показывает, что Г"р не есть тензор. Если же рассматриваемое
преобразование--линейное, то указанный член отсутствует, и,
следовательно, по отношению к линейным преобразованиям величины r?v ведут
себя, как тензор.
Пусть в данной точке величины имеют значения (Г?")0. В этой точке
величины (ГарУ штрихованной системы обратятся в нуль, если формулы
преобразования координат удовлетворяют равенствам
1?к) (?)=<>¦ <42-05>
гх" \ . /дх:
V
Эти равенства будут выполняться, если мы положим
х, = х, - xl + ~ (Г;,)0 (Ху. - х") (х, - А (42.06)
