Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
соответствуют линейной зависимости галилеевых координат от параметра р.
Нетрудно видеть, что выкладки, которые привели нас к уравнениям (38.32),
остаются в силе независимо от знака величины F. Если F > 0, то
"геодезическая линия" соединяет два последовательных события, и уравнения
(38.32) можно толковать, как уравнения движения свободной материальной
точки, движущейся со скоростью, меньшей скорости света. Приращение dp
параметра р будет пропорционально приращению собственного времени т, и
вместо (38.32) мы можем написать
й*хч dx" dx*
^+г4й-зг = °- <38'34>
Длина геодезической линии дает интервал собственного времени между
"отправлением" и "прибытием" материальной точки. Если же /7< 0, то
"геодезическая линия" соединяет два квази-одновременных события, и мы
можем положить dp пропорциональным приращению dl пространственного
интервала. Уравнения (38.32) напишутся тогда
(fix., " dx" dXa
¦Ж + т->-ЖКГ = 0- <38-35>
Случаю F = 0 соответствует движение точки по лучу со скоростью света. В
этом случае лагранжева функция (38.18) равна нулю и приведенный выше
вывод уравнений геодезической линии теряет силу. Однако самые уравнения
(38.32) сохраняют смысл и в этом
§ 38) УРАВНЕНИЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКОЙ ЛИНИИ 173
случае, причем, так как они имеют интеграл (38.21), то они совме-
стны с условием F - 0. Чтобы обосновать их, можно исходить из уравнений
Гамильтона, рассмотренных в § 36. Согласно (36.10) мы
имеем
р(tm). р = (*= 1,2,3), (38.36)
dxn dw. dx" дх/с v ' 4 '
где функция Гамильтона Н = - со0 получается решением относи-
тельно о)0 уравнения
(38.37)
Поэтому мы имеем
dH = - d% = рЬ- (Щ dx.+ d? **). (38.38)
Wo/
Пользуясь тем, что
dmо _ dH _ дН
dx0 dx0 дх0'
(38.39)
и выражая производные от Н через производные от G, мы можем написать
уравнения (38.36) в симметричном виде:
^ = ^ = -±-дЛ (а = 0, 1, 2, 3), (38.40)
dp 2 дта ' dp 2 дха v ' '
где dp рассматривается, как дифференциал независимой переменной
р.
Первые четыре уравнения С38.40) уже были выписаны нами в § 36. Раскрывая
правые части (38.40), будем иметь
= = (38.41)
dp 5 Р dp 2 дхл /• ' v
Нетрудно видеть, что эти уравнения равносильны уравнениям (38.32). В
самом деле, мы имеем
% = (38-42>
и, следовательно,
dg^ _ dp'"' dxx_ dgvXdxx ,оо4оч
дхл дха ?р S дх" dp ' ( • )
так как
-§^Вл + (&х) = 0. (38.44)
Подставляя (38.43) в (38.41), получим
^ _ 1 "и, d^ dX>. ,00 4ЧЛ
dp 2 В' " ' дха dp ( • )
174 ОБЩИЙ ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ [гл. III
или, вследствие первых уравнений (38.41),
яЧ 1 dg^xdx^dxy
(38.46)
dp 2 дх" dp dp Исключая отсюда и из (38.42) величины <оа, получаем
окончательно d, dx9, 1 dgi,xdxt,dxx ... ...
dp\g"? dp)~~ 2 dx" dp dp ' ^
Эти уравнения совпадают с уравнениями (38.22), из которых были получены
уравнения геодезической линии в форме (38.32). Переход от (38.41) к
(38.47) есть обычный переход от уравнений Гамильтона к уравнениям
Лагранжа.
Таким образом, мы доказали, что и "геодезическая линия" нулевой длины
определяется уравнениями (38.32), если к ним присоединить условие F - 0.
Заметим, что в силу постоянства величины F геодезическая линия сохраняет
свой характер на всем своем протяжении: либо она все время соответствует
движению точки со скоростью, меньшей скорости света, либо она все время
есть нулевая линия, либо она сохраняет пространственный характер.
Для нулевой геодезической линии соотношение (38.37), в кото-
д<о "
ром соа = д-, может рассматриваться, как уравнение Гамильтона- оха
Якоби для функции действия со (см. § 36). Нетрудно получить уравнение
Гамильтона - Якоби и для общего случая. Для определенности мы рассмотрим
движение точки со скоростью, меньшей скорости света.
Выбирая в качестве параметра время t - х0 и обозначая точкой
дифференцирование по t, мы можем написать функцию Лагранжа нашей задачи*)
в виде
L - -\-'Vgao-f- 2goiXi-f-gihx%xk• (38.48)
Обобщенные импульсы будут равны
^-=Pi = Jr-~(gorJrgikxk)> (38.49)
дх$ L
а функция Гамильтона получится по обычному правилу
Н = xiPi - L = - j (goo+gok^) > (38.50)
причем скорости хк должны быть здесь выражены при помощи (38.49) через
р(.
*) Для удобства мы берем здесь функцию Лагранжа со знаком, обратным тому,
какой принят в механике, вследствие чего знак энергии будет обратен знаку
функции Гамильтона Н.
dx а (38.53)
dxa dXa ds ds (38.54)
&-'Р*Р-,= 1. (38.55)
§ 381 УРАВНЕНИЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКОЙ линии 175
Если мы положим
Ро - z (go° + gi*Xk) (38.51)
и примем во внимание, что
Ldt=ds, (38.52)
где s - длина дуги, то четыре величины рр р0' могут быть записаны
единообразно в виде
Из тождества
вытекает соотношение
которое можно рассматривать, как результат исключения трех скоростей хг,
х,, х3 из четырех уравнений (38.49) и (38.51). Гамильтонова функция Н = -
р0 получается решением уравнения (38.55) относительно р0. По общему
правилу, уравнение Гамильтона-Якоби получится, если выразить Н, pv р.-,,
р} через частные производные функции действия S по времени и по
координатам согласно формулам
ГГ _ ^5 dS .л Q р-п.
