Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
производной. Другими словами, при ковариантном дифференцировании
безразлично, будут ли значки опущены (или подняты) до или после
составления производной.
Мы выписали выше в явной форме выражения для ковариантной производной от
вектора и от тензора второго ранга. Ковариантная производная от скаляра Ф
совпадает с обыкновенной производной
Она является, как мы знаем, ковариантным вектором.
Для полноты мы выпишем также общее выражение для ковариантной производной
от тензора произвольного ранга
содержащего т контравариантных и k ковариантных значков. Мы имеем
Здесь в каждом члене суммы один из значков дифференцируемого тензора
переходит в значок коэффициента Г той же вариантности, а в самом тензоре
заменяется значком суммирования, который входит также в качестве .значка
Г противоположной вариантности. Один из нижних значков Г есть всегда
номер координаты, по которой производится дифференцирование. При этом те
члены, в которых меняется верхний значок тензора, входят со знаком плюс,
а те члены, в которых меняется нижний значок тензора, входят со знаком
минус.
Иногда удобно употреблять особое обозначение для операции ковариантного
дифференцирования, сопровождаемой поднятием соответствующего значка.
Операцию
называют контравариантным дифференцированием.
§ 41. Примеры составления ковариантных производных
Применим полученные правила ковариантного дифференцирования к некоторым
частным случаям.
Составим прежде всего расходимость данного вектора. Согласно
(40.06), выражение
(40.24)
(40.25)
V* =
(40.27)
(41.01)
186 ОБЩИЙ ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ [ГЛ. Щ
представляет смешанный тензор второго ранга. Свертывая его по значкам р и
v, мы получим скаляр
Div4 = V^ = ^ + r;X (41.02)
который и является обобщением выражения (21.24) для четырехмерной
расходимости. Это выражение может быть упрощено. Мы имеем
" , 1 / | dgpa \ 1 dgy.-, АОЧ
= = (41.03)
Но если g есть определитель, составленный из g.^, и ggv-'1 есть минор
элемента gа,, в этом определителе, то по правилу дифференцирования
определителей мы имеем
dg=gg^dg^, (41.04)
откуда
<41-05>
Заметим, что вследствие (40.18) это выражение равно Таким образом,
7&=-ь-%г- <41'0б)
Подставляя это в (41.02), получим:
V^ = y==-^-(/^i^). (41.08)
Таким образом, умноженная на У - g расходимость вектора А равна
сумме частных производных по координатам от его контравариант-
ных составляющих, умноженных на V - S'-
Если мы возьмем в качестве вектора А градиент некоторого скаляра <р и
положим
= (41.09)
У-
и, следовательно,
A" = g^-§r^ (41.10)
то расходимость этого вектора даст инвариантное выражение
<4111)
которое является обобщением оператора Даламбера (21.27).
§ 41] ПРИМЕРЫ СОСТАВЛЕНИЯ КОВАРИАНТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 187
С другой стороны, ту же расходимость мы можем вычислить следующим
образом. Составим сперва ковариантную производную от градиента <р. По
общему правилу (40.05) мы получим выражение
V'=3^7-r;-^- <4i-i2>
которое будет симметричным относительно значков ц и v. Его можно назвать
второй ковариантной производной от скаляра <?. Составляя ватем инвариант
?? = (41.13)
мы будем иметь
<4м4)
где мы положили для краткости
Г' = ?ГГ*,. (41.15)
Так как оба выражения (41.11) и (41.14) представляют расходимость одного
и того же вектора, то они должны совпадать. Равенство коэффициентов при
вторых производных от <р непосредственно очевидно. Приравнивая
коэффициенты при первых производных, мы получим тождество
Iv = -7=^^(K=ir'). (41.16)
которое может быть проверено и непосредственно.
Заметим, что если мы введем в качестве координат х0, xv х2, х.А четыре
решения уравнения ?'? = 0, то для них будет Г7 = 0. Такие координаты,
удовлетворяющие, кроме того, условиям на бесконечности, о которых мы
будем говорить в следующей главе, называются гармоническими. В обычной
теории относительности гармоническими являются декартовы координаты и
время.
Если вектор Аесть градиент некоторого скаляра, то для него разность
ковариантных производных - Уу4^ равна нулю. В общем же случае эта
разность не равна нулю, и ее можно рассматривать, как четырехмерное
обобщение вихря данного вектора. Положим *)
(Rot^ = V^v - У,Д. (41.17)
Это выражение представляет, по определению, антисимметричный ковариантный
тензор второе ранга. Пользуясь формулой (40.05), легко убедиться, что при
составлении разности (41.17) члены, отличающие ковариантные производные
от обыкновенных, сократятся, и
*) Символ Rot мы будем употреблять в смысле четырехмерного обобщения
вихря, сохраняя для трехмерного вихря символ curl.
J 88 ОБЩИЙ ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ [гл. III
мы получим
дА, дА, ... ,
(41-18)
т. е. выражение, совпадающее с обычным выражением для вихря, которое,
таким образом, применимо и в произвольных координатах.
Обозначим через Aсимметричную часть ковариантной производной от вектора А
. Мы имеем
или, после применения (40.05),
1 / дА,, дА
I / о А, ал, \
+ (41.20)
При помощи симметричного тензора Л мы можем определить вторую
ковариантную производную от вектора положив
