Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
H = - W: (38.56)
которые могут быть записаны в виде
* = 17/ <ж57>
Таким образом, уравнение геодезической линии в форме Гамильтона- Якоби
имеет вид
*"%dF=1- (Ж58>
г '>
Если известен полный интеграл уравнения Гамильтона - Якоби
-- *5(^0* '^¦2> ^8' ^'¦2, ^в) (38.59)
содержащий три произвольные постоянные cv с2, с3 (не считая аддитивной
постоянной сс), то, как доказывается в механике, производные от S по
постоянным будут также постоянными
(*= 1.2, 3). (38.60)
Постоянные эти определяются затем из условий задачи.
176
ОБЩИЙ ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ
(гл. Ill
Как видно из сравнения (38.58) с (38.37), уравнение нулевой геодезической
линии получается из (38.58) заменой правой части нулем. Для
пространственной геодезической линии правая часть уравнения Гамильтона -
Якоби есть отрицательная постоянная, которую можно положить равной -1.
В евклидовом пространстве равенство и параллельность двух векторов,
отнесенных к разным точкам, формулируется весьма просто. Два вектора
равны и параллельны, если их декартовы составляющие равны. То же
определение, очевидно, годится и для векторов в плоскости. Оно
непосредственно обобщается и на случай изогнутой поверхности,
развертывающейся на плоскость. Если же мы имеем произвольную (не
развертывающуюся) поверхность, то параллельность двух лежащих в ней
векторов может быть определена только если точки приложения этих векторов
бесконечно близки. Вектор на поверхности мы можем рассматривать, как
вектор в пространстве, касательный к поверхности в точке его приложения.
Если дан вектор на поверхности в точке Р, то параллельный ему (в смысле
геометрии на поверхности) вектор в бесконечно близкой точке Q может быть
построен следующим образом. Данный вектор в точке Р мы рассматриваем, как
пространственный вектор, и строим в точке Q параллельный ему в обычном
смысле пространственный вектор, а затем проектируем его на плоскость,
касательную к поверхности в точке Q. Этот касательный вектор в Q мы и
считаем параллельным данному вектору в Р.
Аналитически это построение может быть выполнено следующим образом. Пусть
yv у2, уй - декартовы координаты в евклидовом пространстве, а хг, х2-
координатные параметры поверхности. Параметрические уравнения поверхности
имеют вид:
§ 39. Параллельный перенос вектора
у1=у1(х1, х.2У, у2 = у2(xv х2); ys = ya(xv х2), (39.01)
и квадрат элемента дуги на поверхности будет равен
ds2 - gn dxi + 2g12 dxt dx2 g22 dxi,
(39.02)
где
з
" _ V дУпдУп
Sik ^ $Х{ $Xji •
(39.03)
71= 1
Пусть Av A2-ковариантные и A1, A'2-контравариантные составляющие
некоторого вектора на поверхности в точке P(xv х.2). Мы можем
рассматривать его, как пространственный вектор с прямо-
§ 391 ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС ВЕКТОРА 1 77
угольными составляющими
A1+ш А2 ("=1 > 2> 3>* (39'04>
причем будет
(/= 1, 2). (39.05)
П = 1
Если мы, перейдя к точке Q(xl-\-dxv x2-\-dx^), не изменим прямоугольных
составляющих Уп, мы получим пространственный вектор, который уже не будет
касательным к поверхности. Но его касательные составляющие определят на
поверхности вектор
А, + ЬА, = ? Г. (?" + ^ ^ lxt), (39.06)
п-1 к =1
который мы и считаем, по определению, результатом параллельного (в смысле
геометрии на поверхности) переноса вектора Аг в точку Q. Нормальная же
составляющая Кп, очевидно, из формулы (39.06) выпадает.
В формуле (39.06) добавка к учитывает изменение этой
величины при переходе от Р к Q. Из-за этой добавки составляющая At
получает приращение
3 2
_ <*аУп с
п=1 к=1
Подставляя сюда выражение (39.04) для Yn, получаем
м<= s <з9о8>
г, к = 1 "=1
На основании выражения (39.03) для gik нетрудно проверить, что в формуле
(39.08) сумма по п равна
V..........................- 1 (39.09)
дх{ дхк dxt 2 \ дхг 1 дх() х '
П~\
или, если воспользоваться обозначением (38.30) для скобок Кри-стоффеля,
= (3940)
п=1
12 Зак. 485. В. А. Фок
<39-07>
178
ОБЩИЙ ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ
{ГЛ. Ill
Таким образом, приращение составляющих вектора при параллельном переносе
будет равно
2
ЬАг=. ^ ГЫА1 Ьхк. (39.11)
I. Аг= 1
Существенно отметить, что это приращение зависит только от внутренних
свойств поверхности, определяемых выражением (39.02)
для ds1.
Теория параллельного переноса векторов, развитая в работах Леви-Чивита
[и] и его учеников, может быть формулирована почти без изменений для
случая четырехмерного многообразия пространства-времени. Пусть
коэффициенты квадратичной формы
ds^ = ga?dxadx? (39.12)
представлены в виде
далэ)
п= 1 р
где числа еп равны ± 1, а
Уп-Уп(хо- xv х2, Хд) (39.14)
суть некоторые функции. В обычной теории относительности вели-
чины получаются из квадратичной формы (39.09) и представимы в виде
(35.15), что соответствует случаю ДГ=4. В самом общем
случае мы имеем 10 величин и для их представления в виде
(39.13) нужно не больше 10 функций уп (последнее может быть доказано и
строго). Заметим, что так как сигнатура квадратичной
формы (39.12) равна (-|-------------------- -), то среди чисел еп должно
