Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
совокупность четырех величин, преобразующихся, как дифференциалы
координат.
В том случае, когда ds2 имеет вид (37.04) и когда мы имеем дело лишь с
преобразованиями Лоренца, коэффициенты в формулах преобразования (37.06)
и (37.07) постоянны. В общем же случае произвольных преобразований эти
коэффициенты переменны. В случае преобразований Лоренца вектор не
обязательно должен относиться к определенной точке пространства, а может
быть "свободным". Примером свободного вектора является вектор энергии -
количества движения материальной системы. (Аналогично, свободным тензором
является тензор момента количества движения и центра инерции системы).
Напротив того, в случае общих преобразований координат (и даже при
простом переходе к криволинейным координатам) вектор непременно
предполагается связанным с определенной точкой пространства. Такими
связанными векторами являются векторы поля (например, поля скоростей
сплошной среды), составляющие которых являются функциями точки, т. е.
функциями от координат л;0, xv х2, ха. Но связанный вектор не обязательно
должен быть определен в некоторой конечной области пространства-времени;
область его
160
ОБЩИЙ ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ
[гл. Ш
определения может сводиться и к некоторой кривой (например, вектор
касательной) или к некоторой поверхности (например, вектор нормали). Те
же замечания относятся и к тензорам. Таким образом, в общем тензорном
анализе мы будем иметь дело со связанными векторами и тензорами. Для них
значения переменных коэффициентов
дх'а
преобразования -х- и т. д. должны быть взяты в той точке, к кото-
О.Гр
рой отнесены и самые вектор или тензор.
Определение тензора аналогично тому, какое было дано в § 21
для случая преобразований Лоренца. Формулы (21.01), (21.03) и
(21.05), дающие правила преобразования ковариантного, контрава-риантного
и смешанного тензоров второго ранга, остаются в силе и в общем тензорном
анализе. В принятых нами обозначениях эти формулы напишутся
, дха дхо Т^ = -г-4т.9, (37.08)
дх ,
дх' дх'
т (37-09>
дх' дхг, "
7"i = - J 7р. (37.10)
дха дх,
Таким образом, тензором второго ранга (ковариантным, контрава-риантным и
смешанным) называется совокупность величин, преобразующихся,
соответственно, по закону (37.08), (37.09) и (37.10).
Свойства симметрии или антисимметрии тензора второго ранга (ковариантного
или контравариантного, но не смешанного) при преобразовании сохраняются.
В самом деле, изменив в (37.08) обозначения значков, мы можем написать
, дх~ дхя
(37Л1>
дх дх,
г* 1
Поэтому, если мы положим
2S"3 = 7'аз -(- 7\.а, (37.12)
2Аа?=Та9-Т?" (37.13)
и аналогичным образом определим и А' , то мы будем иметь
дх" дх,
ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА
161
Величины можно назвать симметричной, а величины Аар - анти-
симметричной частью тензора Тс?. Из формул (37.14) и (37.15) следует, что
как симметричная, так и антисимметричная часть тензора Та^ представляет
собою тензор. Поэтому, если тензор 7^ сам симметричен, так что = 0, то
будет и = 0, т. е. преобразованный тензор также будет симметричен.
Аналогично, если тензор Т^ антисимметричен и Sa$ = 0, то будет и = 0, так
что преобразованный тензор Т' останется антисимметричным. Те же
рассуждения могут быть применены к контравариантному тензору Т(r). Что
касается смешанного тензора 7|, то его верхний и нижний значки входят в
формулу преобразования (37.10) неодинаковым образом, вследствие чего
разделение его на симметричную и антисимметричную часть не имеет
инвариантного смысла.
Весьма важным примером симметричного тензора второго ранга является
совокупность коэффициентов gв выражении для ds2. То, что коэффициенты ga^
симметричны относительно своих значков, вытекает непосредственно из их
определения. То, что они образуют
тензор, вытекает из инвариантности выражения для ds2. В
самом
деле, мы имеем при переходе к новым переменным х'0> x'v х'9, х'ъ
gV.i dx'p. dx[ = dx" dxp (37.16)
откуда
, дха дхн
^ = (37Л7)
а это есть закон преобразования ковариантного тензора. Тензор gt3
называется фундаментальным или метрическим тензором. Совокупность величин
определяемых из уравнений
= 8', (37.18)
также представляет собою тензор, причем этот тензор будет кон-
травариантным. Докажем это. В штрихованной системе
отсчета мы
имеем для g' выражение (37.17), a g'v-4 получается из
уравнений
= С (37.19)
С другой стороны, если g'Р есть контравариантный тензор, то мы должны
иметь
"л "о дх' дх[
<37-20>
Нам нужно показать, что оба определения g'v* совпадают. Так как
решение уравнений (37.19) относительно g-/lU единственно, то для этого
достаточно проверить, что выражения (37.20) удовлетворяют
11 Зак. 485. В. А. Фок
162 ОБЩИЙ ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ [ГЛ. III
уравнениям (37.19). Это легко сделать, исходя из равенств:
дх" дх[ дх"
= = 8" (37.21)
дхл дхп дхп ?
к р р
г дх[ дха
g'=g^ (37.22)
dxf дх,,
Подставляя (37.20) в (37.19) и пользуясь сперва (37.22) и затем
(37.18), мы получим цепь равенств
, , , " , дх' дх[ дх' дх"
е = rtb т-* - = r% г-т =
