Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
переменными, которые связаны с величинами ,(35.07) соотношениями
xa=fa(xQ, xv х2, Xg) (" = 0,1, 2, 3), (35.10)
где /а - произвольные функции, которые удовлетворяют лишь неко-
торым общим условиям. Мы предположим, что уравнения (35.10) разрешимы
относительно х0, xv х.2, х3, так что их якобиан отличен от нуля
D (хп, х,, х... х.,)
В- У " в. Q (35.11)
D (лг0. хь х2, х?)
Кроме того, мы будем считать, что функции /а имеют непрерывные
производные первых трех порядков. Дальнейшие условия для /а, вытекающие
уже из физических соображений, мы рассмотрим ниже.
Производя замену переменных, мы получим для (Vo))' однородную
квадратичную функцию от первых производных о) по переменным ха, xv х2,
х3, которую мы запишем в виде
<35J2>
о, Р=0 р
причем
(36.13)
Аналогично, произведя замену переменных в выражении для ds0*, мы получим
в
ds°* = 2 dxa dx$, (35.14)
о, p = 0
где
8 дх',, dx'b
S oxk uxk ,oe
ек~дГа~Ш- (35Л5)
k = о H
На основании (35.13) и (35.15) легко проверить, что
V "¦" _ х ' / 1 ПРИ v = ^
XJ §,.я§ " "Е I о ппи ,
о=о I и ПРИ v [*¦
(35.16)
150
ОБЩИЙ ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ
[ГЛ. III
Отсюда следует, что если обозначить через g определитель
g = Detg^, (35.17)
то величины будут равны деленным на g минорам (алгебраическим
дополнениям) этого определителя.
Применяя правило умножения определителей, мы получим
D"(e'^)-De,(^)"Del^- <35Л8>
Второй множитель здесь равен якобиану D [формула (35.11)], а вследствие
того, что
*o*i Ve = - 1 > (35.19)
первый множитель в (35.18) равен -D. Следовательно,
g=-Dt. (35.20)
Выбор независимых переменных xQ, xv х2, х,3 целесообразно
ограничить такими условиями, чтобы переменная х0 имела (как и х')
Г ! Г
характер времени, а переменные xv х2, хв (как и хи хъ хь) имели характер
пространственных координат. Формулируем эти условия
более точно. Будем, как и раньше, понимать под "событием0 точку
пространства, рассматриваемую в соответствующий момент времени (точку-
мгновение). Потребуем, чтобы два события, которым соответствуют
одинаковые значения пространственных координатных параметров xv х2, х9,
но разные значения х* и х** временнбго параметра х0, были
последовательными во времени в смысле § 12. Мы знаем, что для
последовательных событий квадрат интервала положителен. Если считать,
что разность х** - х* бесконечно мала и
положить
х* = х0; х** = х0-f dx0 (35.21)
то это должно быть справедливо и для бесконечно малого интервала ds2.
Поэтому мы должны иметь
ds2 = gQQ dx о > 0, (35.22)
откуда
?оо > 0. (35.23)
Пусть мы имеем, далее, два события, которым соответствует одно и то же
значение временнбго параметра х0, но разные значения xv х2, хв и хх-\-dxv
х.,-)-dx2, x3-\-dx.A координатных параметров. Мы потребуем, чтобы такие
два события были квази-одьовременными в смысле § 12. Для квази-
одновременных событий величина ds1 отрицательна, и, следовательно, должно
быть
з
ds- - 2 Si к dx i dxk < 0 (35.24)
i, = i1
§ 35]
ДОПУСТИМЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КООРДИНАТ И ВРЕМЕНИ
151
каковы бы ни были величины dxv dx.2, dxa (не равные нулю все вместе).
Отсюда следует, что квадратичная форма (35.24) должна быть определенной и
отрицательной. Из алгебры известно, что необходимыми и достаточными
условиями для этого являются неравенства
gt 1 Svi gi з
go\ g-22 g>i-, < 0. (35.25)
g'i 1 g'.Vl g\i3
gu gvi >0; S*22 g23 >0; gu gl 3
Sat g-22 g-i-2 gss g.n gm
>0,
Su ^ 0; g22 < 0; gS3 < 0,
(35.26)
(35.27)
из которых, впрочем, не все независимы. Независимыми являются, например:
неравенство (35.25), первое из неравенств (35.26) и первое из неравенств
(35.27).
Нетрудно показать, что из наложенных на коэффициенты условий следует
[независимо от их представления в виде (35.15)], что в окрестностях
каждой точки величина ds2 может быть представлена в виде суммы одного
положительного и трех отрицательных квадратов. Совокупность знаков при
квадратах называют сигнатурой квадратичной формы. В нашем случае
сигнатура может быть записана в виде (е0, ev е2, е3) или (-|---------).
Из неравенств (35.25) - (35.27) следует также, в согласии (35.20), что
определитель g будет всегда отрицательным. Кроме того, из них вытекают
такие же неравенства для величин g"? с верхними значками, в силу которых
будет
g00 > 0, (35.28)
2 glk<*>i<t>k < ° i, к=\
(35.29)
для любых неравных одновременно нулю величин ш1, ш.2, ша. На
доказательстве этих чисто алгебраических утверждений мы останавливаться
не будем.
Таким образом, для того, чтобы параметр х0 имел характер времени, а
параметры xv х2, х.л - характер пространственных координат, необходимо и
достаточно, чтобы величина goa была положительной, а квадратичная форма с
коэффициентами gik (г, k- 1, 2, 3) была определенной отрицательной. На
величины же ?\0, g2(), g.i0 не налагается при этом никаких ограничений.
Рассмотрим геометрический смысл уравнений x0=-const HXft = const. Выведем
условие, при котором уравнение
с" (х, у, z, t) = 0
(35.30)
152 ОБЩИЙ ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ [гл. III
может рассматриваться, как уравнение движущейся поверхности. Из (35.30)
