Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
следует, что дифференциалы координат и времени связаны соотношением
wxdx-\-<y>ydy-\-wlldz~{-<y>tdt=i 0, (35.31)
где через (s>x, шу, шг, обозначены производные от ш по х, у, z, t.
Возьмем смещение dx, dy, dz по направлению нормали к поверхности и
положим
ш.е "Ь/ "а
dx = -- ;-г-dn\ dy=-, з-г dn; dz = ~,---------5-r dn, (35.32)
| grad oj | ¦' | grad (r) | I grad o> | v '
причем \dn\ - абсолютная величина смещения. Подставляя (35.32)
в (35.31), получим
I grad с" | dn-\-wt dt == 0, (35.33)
и, следовательно, квадрат скорости смещения
(35.34)
будет равен
2
(1).
^35-35>
Таким образом, уравнение (35.30) можно толковать, как уравнение
поверхности, каждая точка которой движется в направлении нормали к
поверхности со скоростью, определяемой из (35.35). Такое толкование,
однако, возможно лишь до тех пор, пока эта скорость не превышает скорости
света. Согласно (35.35) и (35.01), это будет при условии
(Voj)2<0, (35.36)
причем знак равенства соответствует скорости света.
Если же
(Vo))2 > 0, (35.37)
то уравнение (35.30) может быть решено относительно времени и записано в
виде
t=-~f(x, у, z), (35.38)
причем
(grad/)2 < 1. (35.39)
Уравнение (35.38) сопоставляет каждой точке пространства определенный
момент времени, причем все эти "точки-мгновения" будут квази-
одновременными. Это уравнение можно назвать "уравнением времени11.
Напомним, что уравнение времени уже рассматривалось нами в § 3 в связи с
вопросом о характеристиках уравнений Максвелла.
§ 35] ДОПУСТИМЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КООРДИНАТ И ВРЕМЕНИ 153
Как мы уже отмечали в § 3, можно рассматривать уравнение о> = О, как
уравнение гиперповерхности в четырехмерном многообразии пространства и
времени. При таком рассмотрении можно подразделить гиперповерхности на
два класса.
Если (Vu>)2<0, то можно сказать, что одно из измерений гиперповерхности
имеет характер времени (часто пользуются неточным выражением:
"поверхность имеет характер времени"). Согласно (35.35), это есть
обыкновенная двухмерная поверхность *), движущаяся со скоростью, меньшей
скорости света.
Если (Vu>)2 > 0, то говорят, что гиперповерхность имеет пространственный
характер. Это есть все бесконечное пространство, разные точки которого
рассматриваются в разные моменты времени, а именно, точка х, у, z
рассматривается в момент t, определяемый из уравнения времени (т. е. из
уравнения гиперповерхности). Сопоставляемые двум точкам пространства
моменты времени должны быть при этом настолько близки, чтобы
соответствующий интервал имел пространственный характер.
Пользуясь тем, что (Vu>)2 есть инвариант, мы получим, полагая
последовательно u> = х0, а> = xv ш 1= х2, ю = х3:
(Vx0)2 = g00 > 0, (35.40)
(Vx1)2 = g"< 0; (Vx2)2 = g22 < 0; (Vx3)2 = g(tm) < 0. (35.41)
Отсюда следует, что уравнение х0 = const представляет уравнение времени,
а каждое из уравнений хк = const (k- 1, 2, 3) представляет уравнение
поверхности, движущейся в направлении своей нормали со скоростью, меньшей
скорости света (уравнение движущейся координатной поверхности).
Из условий, наложенных нами на преобразования координат и
времени, вытекает также, что постоянным значениям xv х2, х3 соот-
ветствует, в любой инерциальной системе отсчета, движение точки со
скоростью, меньшей скорости света.
В классической механике Ньютона часто применяются преобразования
координат, зависящие от времени, причем эти преобразования толкуются, как
переход к движущейся системе отсчета. Сравнивая преобразования координат
в механике Ньютона с преобразованиями координат и времени в теории
относительности, необходимо отметить следующее. Во-первых, само понятие о
системе отсчета в механике Ньютона не совпадает (в общем случае
ускоренного движения) с понятием системы отсчета в теории
относительности: в механике Ньютона понятие системы отсчета связывается с
представлением-об абсолютно твердом теле и о мгновенном распространении
света. В теории же относительности понятие о твердом теле (притом не
абсолютно
*) В четырехмерном многообразии гиперповерхность имеет три измерения, ио
в данном случае только два из них - пространственные.
154
ОБЩИЙ ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ
[гл. III
твердом, а лишь сохраняющем свою форму при отсутствии ускорений и внешних
сил) играет лишь вспомогательную роль, а понятие системы отсчета основано
на законе распространения фронта волны. Прототипом ньютоновой системы
отсчета является твердый каркас, тогда как прототипом системы отсчета
теории относительности является радиолокационная установка. Во-вторых,
класс преобразований, допустимых в ньютоновой механике, значительно шире,
чем класс преобразований, допустимых в теории относительности: в
ньютоновой механике не рассматриваются ограничения, вытекающие из
существования предельной скорости и выражаемые рассмотренными выше
неравенствами.
В качестве примера рассмотрим преобразование, которое в ньютоновой
механике может быть истолковано, как переход к равноускоренной системе
отсчета. Пусть х', у', z', t' - координаты и время в инерциальной системе
