Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
быть
не меньше одного положительного и не меньше трех отрицательных.
Величины уп мы можем формально толковать, как декартовы координаты в
некотором многомерном псевдо-евклидовом пространстве с метрикой,
определяемой выражением
N
dr? - 2 еп dyi, (39.15)
"=1
а наше пространство-время - как некоторую гиперповерхность в этом
многомерном пространстве.
Обычному контравариантному вектору А" в пространстве-времени будет
соответствовать в многомерном пространстве касательный к гиперповерхности
вектор с декартовыми составляющими
у дУп Д, дхл л
(39.16)
§ 39] ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС ВЕКТОРА 179
(здесь и в дальнейшем снова подразумевается суммирование по греческим
значкам от 0 до 3). Отсюда получаем на основании (39.13) следующие
выражения для ковариантных составляющих вектора Ла:
N
= (39.17)
п-1
Значения составляющих вектора Аа после его параллельного переноса в
бесконечно близкую точку мы можем, аналогично (39.06), определить по
формуле
(3918)
п=1 р
откуда
N
7А" - 1 enYn dxjdx. (39.19)
n=1 p
и после подстановки вместо Yn его выражения из (39.16)
N
<39-20>
П~ 1
Но из (39.13) следует, аналогично (39.10):
|е.Й?з|% = Г...!' <39'2|>
71 = 1
где Г, ая - обычные скобки Кристоффеля
<39-22>
Поэтому формула для приращения составляющих вектора при
параллельном переносе напишется
ЪАЛ = Гт> "р Sxp, (39.23)
так же как и в случае обыкновенной поверхности в обычном евклидовом
пространстве.
В формулу (39.23) входят как ковариантные, так и контравари-антные
составляющие вектора, но нетрудно выразить в ней обе части через одни и
те же составляющие. Мы имеем
А1 = (39.24)
g11 ГТ,.Р = Г^. (39.25)
12*
180 Общий тензорный анализ [гл. hi
Поэтому
ЪЛ, = Т^Ьх9. (39.26)
Сюда входят только ковариантные составляющие. С другой стороны,
8Д = gjA' + А1 Щ = Гт> айТ (39.27)
и, как легко проверить,
Гт,.? + Г".?т=^т. (39.28)
Отсюда
g^/j А' = - Га, fjT А1 ох? (39.29)
и, следовательно, формула для контравариантных составляющих имеет вид
8Д = - ГарЛ* Ьхр. (39.30)
Рассмотрим изменение скалярного произведения двух векторов при
параллельном переносе. Мы имеем
8(Л',Д) = -Д8Д' + Д'&Дс- (39.31)
Подставляя сюда выражение для 8Л' из (39.30) и написав, согласно
(39.26), 8Ва в виде
8Be = Kj,B,8*p, (39.32)
мы убедимся, что оба члена в (39.31) сокращаются, и мы получаем
8(Л'Д) = 0. (39.33)
Таким образом, скалярное произведение двух векторов при параллельном
переносе не меняется. В частности, не меняется и абсолютная величина
вектора.
Мы рассматривали до сих пор бесконечно малые смещения. Но, суммируя их,
мы можем определить параллельный перенос и вдоль любой заданной кривой.
Пусть координаты точки на кривой заданы как функции некоторого параметра
р:
Хр = х$(р). (39.34)
Величины (которые являются функциями координат) также будут
известными функциями от р. Для определения вектора А1 в функции от р мы
будем иметь дифференциальные уравнения
dA' " dxa
^-=-ки-з?- (39-35)
Если заданы значения А' для начальной точки кривой, то,
интегрируя уравнения (39.35), мы получим значения А1 и для
конечной точки
§ 40] КОВАРИАНТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ 181
кривой. Тем самым мы произведем параллельный перенос вектора из начальной
точки в конечную. Результат будет, очевидно, зависеть от вида кривой,
вдоль которой производится перенос.
Сравним уравнения (39.35) параллельного переноса с уравнениями
геодезической линии
dx.dxo
= (38-27)
Те и другие уравнения совпадут, если мы положим
= (39.36)
Если геодезическая линия временно-подобна (т. е. соответствует
движению точки со скоростью, меньшей скорости света), то в качестве
параметра р можно взять собственное время т, и вектор Лч будет совпадать
с четырехмерной скоростью. Таким образом, в этом случае уравнения
геодезической линии можно толковать, как уравнения параллельного переноса
вектора скорости вдоль направления, даваемого этим же самым вектором (в
четырехмерном смысле).
Из уравнений параллельного переноса для вектора нетрудно получить
соответствующие уравнения для тензора любого ранга. В качестве
примера рассмотрим случай ковариантного тензора второго
ранга Га.,. Мы будем исходить из требования, чтобы инвариант
[=Т,х1А*В' (39.37)
не менялся при параллельном переносе, каковы бы ни были векторы А11 и В'.
Меняя обозначения значков, мы можем написать величину 8/ в виде
8/ = А'В' (87;, - 7;,Г% 8*3 - Т"Х:, 8*р). (39.38)
Так как это выражение должно обращаться в нуль при любых А^ и В\ мы
должны иметь
87;, = T[Lal% Ьх? + Тг,I& 8*з, (39.39)
что и является искомым обобщением уравнений параллельного переноса.
§ 40. Ковариантное дифференцирование
В случае постоянных g^ операцию дифференцирования по координате можно
было, в известном смысле, рассматривать, как умножение на некоторый
вектор. Так, если А, есть вектор, заданный в не-
дА
которой области как функция точки, то выражение VaA, = ^ будет,
при постоянных g- , тензором с теми же свойствами преобразования, как
произведение' векторов и Л,. Поэтому в указанном случае
