Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
169
Рассмотрим теперь два квази-одновременных события. Точки пространства,
где эти события произошли, мы можем соединить некоторой кривой, и каждой
точке на этой кривой мы можем сопоставить определенный момент времени (г.
е. написать для каждой точки свое "уравнение времени*), причем каждая
пара этих промежуточных точек-мгновений должна быть квази-одновременной.
Аналитически вид кривой и уравнение времени могут быть попрежнему
представлены при помощи уравнений (38.01) и (38.02), но мы уже не можем
толковать эти уравнения, как описывающие движение точки по кривой; они
будут соответствовать статическому рассмотрению всей кривой в целом. Для
каждой пары промежуточных бесконечно близких точек-мгновений мы будем
иметь
будет характеризовать длину кривой.
Можно поставить вопрос об экстремальных значениях временного интервала
(38.04) между двумя последовательными событиями и пространственного
интервала (38.06) между двумя квази-одновременными событиями. Эта
вариационная задача приводит к уравнениям, форма которых одинакова в
обоих случаях (для временного и для пространственного интервала).
Получаемые вариационные уравнения называются, по аналогии с теорией
поверхностей, уравнениями геодезической линии. Необходимо, однако,
отметить, что в теории поверхностей (где квадрат бесконечно малого
расстояния есть определенная положительная форма от дифференциалов
координат) геодезическая линия является, вообще говоря*), кратчайшей,
тогда как экстремум временного интервала соответствует его максимуму, а
экстремум пространственного интервала не представляет ни максимума, ни
минимума. Последнее утверждение легко проверить в том частном случае,
когда ds2 имеет вид (37.04) (галилеева метрика). Для последовательных
событий можно выбрать систему отсчета так, чтобы пространственные
координаты начальной и конечной точек совпадали, и взять в качестве
параметра время t. Мы будем тогда иметь
ds2 = g-a(s<pV dP' <
(38.05)
и пространственный интервал
(38.06)
(38.07)
д>
где
(38.08)
*) Т. е. при достаточно близких начальной и конечной точках.
170 ОБЩИЙ ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ [гл. III
Решением вариационной задачи будут постоянные значения х, у, z, для
которых v2 = 0. Для всякой другой траектории будет V2 > 0,
откуда У с'2 - V'2 < с и, следовательно,
s<sm" = c(f>-t\ (38.09)
Для пространственного интервала можно выбрать систему отсчета так, чтобы
было
*<¦> = *<"; />=/>; *(2> = *<", (38.10)
тогда как Взяв в качестве параметра координату х,
получим
<=/ У'+щ+т-^т^ ^
а)
?С
Решением вариационной задачи будут постоянные значения у, z, t, для
которых
1"ъ = хе> - *1>. (38.12)
Но для других кривых у (х), z(x) и для других уравнений времени t(x)
может оказаться как / >/ехtr, так и / </ехtr. смотря по тому, будет ли
корень квадратный в (38.11) в среднем больше или меньше единицы.
Составим дифференциальные уравнения геодезической линии. Лагранжева
функция нашей вариационной задачи будет равна
L = (38.13)
или, если мы будем писать ха вместо <?",
L = Vga$xtx$. (38.14)
Условие экстремума интеграла
д.
5
Р.
приводит к уравнениям Лагранжа
d dL dL
= j Ldp (38.15)
л =0. (38.16)
dp dxa dxa
Положим
F=~ge9xax?, (38.17)
откуда
L=]/2F. (38.18)
§ 38) УРАВНЕНИЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКОЙ линии 171
Рассуждая, как в § 17, мы можем выбрать параметр р так, чтобы
было
^=0; F = const. (38.19)
При таком выборе параметра уравнения (38.16) будут равносильны следующим:
--^1 - - = 0. (38.20)
dp дх" дха
Последние уравнения имеют интеграл
дИ
ха- F-F= const, (38.21)
дх,
так что условие (38.19) будет следствием (38.21). Раскрывая левую часть
(38.20), получим
^ 2 ХРхч = 0 (38.22)
и, выполняя дифференцирование,
+ -= (38.23)
Коэффициент при х^х-( мы можем симметризовать относительно значков ^ и |
и положить
<38-24>
после чего уравнения геодезической линии напишутся
gc$x$ -f- [Зт, "] Х9Х1 = (ав.20)
Выражение (38.24) носит название скобки Кристоффеля первого рода. Чтобы
решить уравнения (38.25) относительно вторых производных, умножим их на
ga'', просуммируем по а и введем обозначения
{Рт.у}=^[?Т."Ь (38.26)
Мы получим тогда
х-1-\- ( Pi* v} x?xt = О- (38.27)
Выражение (38.26) принято называть скобкой Кристоффеля второго рода. Для
него часто употребляют обозначение
{?7.*}=Грт. (38.28)
Для единообразия можно и для скобок Кристоффеля первого рода применять
обозначение
["3, д] = гг, сф. (38.29)
хотя оно и менее употребительно.
172
ОБЩИЙ ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ
[гл. III
Таким образом,
+ Р8 30) к" = -1 <г(-щ+'-Ц-4г)- <38-31)
С этими обозначениями уравнения геодезической линии напишутся: (fix..
" dx,, dx о
(38'32)
Если скобки Кристоффеля вычислены при помощи фундаментального тензора
представимого в форме (35.17), то уравнения (38.32) эквивалентны
уравнениям
,2 ' ах
dpз
* = 0 (/s = 0, 1. 2, 3) (38.33)
для галилеевых координат х'к. Это вытекает из ковариантности уравнений и
из того факта, что в галилеевых координатах скобки Кристоффеля равны
нулю. Таким образом, в этом случае уравнения геодезической линии (38.32)
