Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Фок В.А. -> "Теория пространства, времени и тяготения" -> 58

Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.

Фок В.А. Теория пространства, времени и тяготения — М.: Технико-теоретическая литература, 1956. — 504 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyaprostranstvavremeniityagoteniya1955.djvu
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 167 >> Следующая

книги. В настоящей же главе мы встанем на чисто формальную точку зрения и
будем развивать общий тензорный анализ в предположении, что метрика нам
задана и что величины gap представляют известные функции от координат.
Такое изложение представляет преимущество в двух отношениях. Во-первых,
мы можем найти те условия, которым должны удовлетворять величины для
того, чтобы они были
представимы в виде (36.03); мы получим тогда обще-ковариантную
формулировку обычной теории относительности. Во-вторых, общий
§ 36] ОБЩИЙ ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ И ОБОБЩЕННАЯ ГЕОМЕТРИЯ 157
тензорный анализ дает нам готовый математический аппарат для формулировки
теории тяготения Эйнштейна.
Прежде чем переходить к систематическому изложению тензорного анализа,
установим связь между выражениями (Vc")a и ds2,
существующую при условии
з
= K (36.04)
а=0
независимо от представимости ga$ в виде (36.03). Покажем, что если
функция с" (*0, Ху, х2, *8) удовлетворяет уравнению (Vu>)2 = 0, то
дифференциалы координат, связанных соотношением ш = const, удовлетворяют
уравнению ds2 = 0.
Положив
= (" = 0,1, 2, 3), (36.05)
ила
напишем уравнение (Va>)'3 = 0 в виде
о= 2 g°$в"вр = о. (Зб.об)
а, (3 = 0
Это уравнение в частных производных для ш того же типа, как уравнение
Гамильтона - Якоби классической механики, и может быть решено аналогичным
способом. Если написать его в виде, решенном относительно со0:
ш0 = - Н(ш,, ш.а, ш3), (36.07)
то функция Н будет соответствующей функцией Гамильтона, и
уравнения Гамильтона напишутся
^?*=1".; (к- 1,2,3). (36.08)
dxo dvijc dx о дхк 4 ; v J
Но
<36М>
и из первых трех уравнений (36.08) следует, что дифференциалы dxa (а = 0,
1, 2, 3) будут пропорциональны частным производным от О по <в". Обозначая
бесконечно малый коэффициент пропорциональности через dp, будем иметь
8
dx" = ТГ Щ = dp (36.10)
Решая при помощи (36.04) уравнения (36.10) относительно <"", получим

dP = 2g"v dx$, (36.11)
158
Общий тензорный анализ
[гл. 111
после чего очевидное равенство
а
2 ".<**" = О (36.12)
а - О
дает
а
flfS2 = 2 ga? dx* dxp = 0, (36.13)
a, [3 = 0
что и требовалось доказать. Таким образом, если мы будем попреж-нему
рассматривать (Va>)2 = 0, как уравнение фронта волны, то мы можем
утверждать, что для точек, находящихся на фронте волны, дифференциалы
координат и времени связаны соотношением ds2 == 0.
В дальнейшем мы будем считать величины ga(r) заданными функциями переменных
л:0, xv х2< xs, и будем лишь предполагать, что они обладают непрерывными
производными всех рассматриваемых порядков и удовлетворяют неравенствам,
формулированным в § 35. Наряду с функциями ga$ мы будем рассматривать
функции g°(r), связанные с первыми соотношениями (36.04). Условия
представимости в виде (36.03) будут установлены в дальнейшем (§ 42).
§ 37. Определение вектора и тензора. Тензорная алгебра
В тензорном анализе постоянно приходится иметь дело с суммами, подобными
(36.01) и (36.02), в которых значок суммирования входит два раза. Следуя
предложению Эйнштейна, мы введем для этих сумм сокращенное обозначение,
которое заключается в том, что знак суммы опускается, а суммирование по
дважды входящему значку подразумевается. При этом мы условимся
суммировать по греческим значкам а, [3, . . . в пределах от 0 до 3, а по
латинским значкам /, k, . ..-от 1 до 3. Применяя эти обозначения, мы
можем писать, например, вместо
з
ds% - ^g^dxadx9 (37.01)
a, р = 0
просто
ds2 = g*? dxa dx? (37.02)
или же, если мы хотим выделить координату *) jc0,
ds2 - goo dxl+^goi dxo dxi + gi'c dxi dxk- (37.03)
Эти сокращенные обозначения оказываются очень удобными и не приводят к
недоразумениям. В тех редких случаях, когда суммиро-
*) Для единообразия мы будем называть здесь координатами все четыре
переменные х0, хь х2, xs, несмотря на то, что Хц имеет характер времени,
а не пространственной координаты. В аналогичном смысле употребляется
термин "галилеевы координаты".
§ 37]
ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА
159
ванне по дважды входящему значку не производится, мы будем это специально
оговаривать. Например, в том частном случае, когда выражение (36.02)
сводится к
ds^ - dx'l - dx\ - dx\ - dx\, (37.04)
мы будем писать
(без суммирования). (37.05)
Определение ковариантного и контравариантного векторов было дано нами для
случая (37.05) в § 20. Формулы (20,12) и (20.13), которые мы теперь можем
писать в виде
Aa = j?AP (37-06)
а. дх'
А'а = ^А^, (37.07)
могут служить определением вектора и в общем случае. Как и раньше,
ковариантные векторы будут обозначаться буквами с нижними значками, а
контравариантные - буквами с верхними значками. При этом для
дифференциалов координат мы будем делать исключение и писать их в виде
dxa, несмотря на то, что они представляют контра-вариантный вектор.
Таким образом, ковариантный вектор может быть определен, как совокупность
четырех величин, преобразующихся, как частные производные от некоторой
функции по координатам. Аналогично, кон-травариантный вектор представляет
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 167 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed