Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
182 ОБЩИЙ ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ [гл. III
тензорный анализ не отличается, в формальном отношении, от тензорной
алгебры.
В случае переменных g.M это уже будет не так: производная от вектора по
координате не' будет тензором. Однако и здесь можно построить такую
линейную комбинацию из производной от вектора и составляющих самого
вектора, чтобы она преобразовывалась как тензор.
Рассмотрим вектор А." заданный как функция точки в некоторой области.
Составляющие его будут функциями от координат. Изменение этого вектора при
переходе от точки Р(х$) к бесконечно
близкой точке Q (jtg8*3) будет
г) А
(А^-(А,)р = \А., = Щох?. (40.01)
Мы можем, однако, сравнивать значение (А)д вектора А в точке Q не с его
значением в точке Р, ас результатом (A)q его параллельного переноса из Р
в Q. Согласно (39.26), при параллельном переносе вектора его изменение
равно
(А)@ - (А)р = 8аА = ПА8^- (40.02)
Вычитая это выражение из предыдущего, т. е. составляя разность
(А)в - (A)q = 8 А = 8i А - s2A, (4о.оз)
мы получим
8А = (^-КрА)8*?- (40-04)
Величина 8А, есть разность между фактическим изменением вектора А и тем,
какое он претерпел бы при параллельном переносе. В то же время это есть
разность двух векторов (А)@ и (А)@> которые оба относятся к одной и той
же точке Q. Поэтому 8А есть вектор. Но при произвольных 8лгр это может
быть только в том случае, если величина
VpA(r)^-К?А (40.05)
есть ковариантный тензор второго ранга *). Эта величина называется
тензориальной или ковариантной производной. Она и является искомым
обобщением обыкновенной производной от вектора на случай переменных g
Путем аналогичных рассуждений можно составить выражение для ковариантной
производной от контравариантного вектора. Оно имеет
*) Тензорный характер (40.05) может быть доказан и без привлечения
понятия параллельного переноса. Для этого достаточно проверить прямым
вычислением, исходя из (37.06), закон преобразования скобок Кристоффеля
(42.04) и затем преобразовать выражение (40.05) к новым переменным,
используя этот закон, а также закон преобразования (37.06) составляющих
вектора.
§ 40] КОВАРИАНТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ 183
вид
V^=^ + lVf- (40.06)
Формулы для ковариантных производных легко обобщаются на
случай произвольного тензора. Рассмотрим сперва тензор
второго
ранга 7^.,. Согласно (39.39), изменение его составляющих при
параллельном' переносе из Р в Q равно
8-2^ - (1'и-ЗТа, + Г"з7^) 8x3. (40.07)
Если же составляющие Т ч являются функциями от координат, то изменение их
при переходе из Р в Q равно
Разность
равная
дТ
Ь1Т*' = ЩЪх"- (40-08>
87;., = 8i7'f, -32 7;,,, (40.09)
дТ
ЬТГ = V-r'pT'w) 8^. (40.10)
есть тензор при любых значениях смещений 8лгр. Поэтому и величина
= (40.11)
должна быть тензором.
Аналогично доказывается тензорный характер величин
VP7>- = ~ + r^+rp;7>P, (40.12)
Э
где 7>ч есть контравариантный тензор, а также
дТ^
VpT? = - Г|,7^ -h Г?р7'5, (40.13)
где 7t есть смешанный тензор.
Применяя правило составления ковариантной производной к кова-риантным или
контравариантным составляющим фундаментального тензора, мы убедимся, что
выражения (40.11) и (40.12) для него равны нулю. Равенство нулю
ковариантных производных от фундаментального тензора носит название леммы
Риччи. Ввиду важности этой леммы рассмотрим соответствующие формулы
подробнее.
При - величина (40.11) равна
g-рДр -^$(, = 0. (40.14)
184 ОБЩИЙ ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ [гл. III
В самом деле, эта формула, написанная в виде
^ = Г,.,р + Г",р, (40.15)
приводится к тождеству в силу определения (39.22) величин Гт> <>р.
[Формула эта совпадает с (39.28)].
Полагая в (40.12) 7>v = gv-'1, получаем
V^'' - ^ + ^ + ^рГрР = °- (40'16)
Для проверки этого соотношения достаточно воспользоваться явным
выражением (38.29) для Гар. Соотношение (40.16) приведется к виду dgv-'1
dg01
-щ+е"(Г-з? = 0 (40.17)
и будет эквивалентно следующему:
g^ + S^ = T^t.S>'eJ = 0. (40.18)
Наконец, при 7t = 8^ выражение (40.13) обращается в нуль в силу
симметрии величин Гар относительно нижних значков.
Ковариантное дифференцирование произведения двух тензоров подчиняется тем
же правилам, как обычное дифференцирование. Это непосредственно вытекает
из нашего способа вывода выражения дтя ковариантной производной;
выражение это получается из выражения для бесконечно малого приращения,
для которого имеет место правило составления дифференциала от
произведения.
Проверим правило дифференцирования произведения на примере произведения
дзух векторов. Положив в формуле (40.11)
Т^ = и^уч, (40.19)
мы получим
= (-^ -Г?рС/р) l/v + (/,(^ -Ир1/Р) (40.20)
и вследствие (40.05)
= (V^) • Vy + L^(VpV.t). (40.21)
Применяя правило дифференцирования произведения к выражению
^ - grV (40.22)
и пользуясь тем, что ковариантная производная от фундаментального тензора
равна нулю, мы получим
(40.23)
§ 41] ПРИМЕРЫ СОСТАВЛЕНИЯ КОВАРИАНТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
185
Таким образом, при ковариантном дифференцировании величины g ведут себя,
как постоянные, и их можно выносить из-под знака ко-вариантной
