Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
самом же деле для физического твердого тела волна от толчка
распространяется внутри тела со скоростью звука. Поэтому принимаемая
абстракция содержит в себе предположение, что скорость звука можно
рассматривать, как бесконечно большую *). Но очевидно, что если считать
бесконечно большой скорость звука, то необходимо считать бесконечно
большой и скорость света, так как она превышает скорость звука в сотни
тысяч раз. Отсюда ясно, что абстракция, лежащая в основе понятия
абсолютно твердого тела, применима только в нерелятивистской теории. В
теории же относительности, основанной на учете факта конечной скорости
распространения всякого рода действий, абстракция эта неизбежно приводит
к противоречию. Таким образом, в теории относительности понятием
абсолютного твердого тела пользоваться нельзя.
Это не исключает, однако, возможности применять в рассуждениях теории
относительности понятие твердого масштаба. В самом деле, это понятие
предполагает только существование таких твердых тел, размеры и форма
которых остаются неизменными при определенных внешних условиях
(отсутствие ускорений и толчков, постоянство температуры и т. п). Такие
твердые масштабы с достаточной точностью реализуются существующими в
природе твердыми телами, которые и могут служить эталонами длины, причем
постоянство их может проверяться (как мы указывали в § 2), например,
путем сравнения с длиной волны определенной спектральной линии.
*) К тому же выводу можно прийти, рассматривая абсолютно твердое тело,
как предельный случай упругого твердого тела с бесконечно большими,
значениями модулей упругости.
§ 33] ТЕНЗОР ЭНЕРГИИ ДЛЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
139
§ 33. Тензор энергии для электромагнитного поля
В предыдущих параграфах мы рассмотрели тензор массы и пропорциональный
ему тензор энергии для случая вещества, между частицами которого
существует взаимодействие, передаваемое упругими силами. Мы рассмотрим
теперь тензор энергии для вещества, частицы которого взаимодействуют
только через ппсредство электромагнитного поля. Так как мы имеем здесь
дело с макроскопической теорией, мы можем представлять себе это вещество
в виде сплошной среды с непрерывным распределением зарядов.
Мы будем исходить из уравнений Максвелла в форме Лоренца для составляющих
электрического и магнитного поля:
Et = Fuv Ei = Fi' = Fi0>
Hx = F2:i; H.2 = Л,,; H, = Fn.
(33.01)
Как мы видели в § 24, в четырехмерной форме уравнения Максвелла имеют
вид:
+ = (33.02)
дхк к = о
где
F** = eiekFik (33.04)
- контравариантные составляющие антисимметричного тензора поля и
четырехмерный вектор ?г имеет составляющие
= 47to; s* = ~Уг = ?vt (I - 1, 2, 3). (33.05)
В этих формулах р обозначает плотность заряда, ц.г - трехмерную
скорост!. и j{ = pv( - плотность тока. Вводя инвариантную плотность
заряда и четырехмерную скорость и1, можно вместо (33.05) написать
s{ = Щ- pV (г' = 0, 1,2, 3). (33.06)
В § 25 мы видели, что уравнения движения частицы с зарядом е
и
массой покоя т. имеют вид
з
е
тча{ - -
*=о
S V- (33.07)
Справа здесь стоит сила Лоренца, действующая на заряд е. Чтобы перейти от
отдельной частицы к веществу со сплошным распределением заряда и массы,
мы должны ввести вместо заряда е его
140
ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ В ТЕНЗОРНОЙ ФОРМЕ
[ГЛ. II
инвариантную плотность р и вместо массы покоя от - ее инвариантную
плотность р.*. Мы получим
з
2 /V* (33.08)
1^ = --
к - 0
ИЛИ
3
(33-09)
к = 0
Так как мы ввели две новые функции р* и р.* (которые не обязаны быть
пропорциональными друг другу), то мы должны присоединить к уравнениям
движения два уравнения для этих функций. Уравнение для р* содержится уже
в уравнениях Максвелла и выражает закон сохранения заряда
2д-тИг=°- <ззл0>
к = о
Уравнение же для р* должно быть формулировано отдельно. Мы примем, что
масса покоя частиц во время движения не меняется (это включает в себе
предположение об отсутствии выделения джоулева тепла). Тогда будет
Q:s= V =0- (33.11)
^ jU дхк
к=о
Из уравнений движения (33.09) только три являются независимыми, так как
мы имеем тождественно
3
= И (ЗЗЛ2)
i-0 г. А: = 0
Поэтому уравнения движения (33.09) вместе с уравнением сохранения массы
покоя (33.11) представляют четыре независимых уравнения. Наша задача
состоит в том, чтобы написать эти уравнения в виде равенства нулю
расходимости некоторого тензора. Для этого воспользуемся прежде всего
формулой (32.13), согласно которой
+ = (ЗЗЛЗ>
й=о
где
W - -L pVa* (33.14)
[напомним, что, в отличие от (32.01), инвариантная масса покоя
обозначается нами теперь через р*, а не через рД. С другой стороны
§ 33] ТЕНЗОР ЭНЕРГИИ ДЛЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 141
из уравнений движения (33.00) и уравнения (33.11) мы можем составить
четыре независимые комбинации
з
= (ЗЗЛ5>
к= о
которые, вследствие (33.12), равносильны (33.09) и (33.11). Левая часть
этих уравнений (точнее, ее контравариантная форма) уже представлена нами
в виде расходимости некоторого тензора. Нам остается представить в
